Математика/4. Математическое моделирование

 

К.ф.-м.н. Симогин А.А., Декина А.В.

Донецкий национальный университет, Украина

Колл–опцион средней цены на (B,P)-рынке
в модели Халла–Уайта

 

1. Введение. Одной из основных задач финансовой инженерии является определение справедливой стоимости производных финансовых инструментов, в частности опционов. Опцион – это контракт, предоставляющий его покупателю право совершать покупку (колл-опцион) или продажу (пут-опцион) финансового актива по ранее обговоренной цене, а так же в определенный договором момент в предстоящем (европейский опцион) или на протяжении определенного периода времени (американский опцион). До 1973 года опционы обращались только но внебирживом рынке. А благодаря двум фундаментальным работам Фишера Блэка, Майрона Шоулса [1] и Роберта Мертона [2], вышедших в свет в 1973 году, опционы начали быстро завоевывать биржевой финансовый рынок.

В настоящий момент насчитывается много типов опционов. И все они делятся на две большие группы: стандартные (ванильные), к которым относятся европейские и американские, и экзотические опционы. Экзотические опционы появились в конце 80-х годов, заменив комбинации стандартных. В настоящее время сществует много разновидностей экзотических опционов [5-8, 10]. К экзотическим опционам в частности относится азиатский опцион.

Азиатский опцион ‑ опцион, выплаты по которому основываются на средней характеристике цены актива или страйка, причем среднее может расчитываться как среднее арифметичекое, так и как среднее геометрическое. Существует две разновидности азиатских опционов: опционы средней цены (Average rate Option, ARO) и опционы средней цены исполнения (Average strike Option, ASO). Платежные функции по этим опционам имеют вид

, ,

Здесь  – средняя цена базового актива за принятый промежуток времени,  – страйк,  – спотовая цена актива на момент экспирации опциона,  – бинарная переменная (1 для колл-опциона, -1 для пут-опциона).

2. Постановка задачи. В данной работе изучаются азиатские опционы покупки с фиксированным страйком на бескупонную облигацию. При определении цены облигации используется опосредованный подход [11].

Основная цель работы – пределение справедливой премии за опцион покупки средней цены на облигацию, на диффузном ‑рынке.

Пусть  фильтрированное вероятностное пространство. Рассмотрим диффузионный ‑рынок, состоящий из банковсеого счета  и облигации . Стоимость  банковского счета в момент времени  определяется соотношением

                                                .                                            (1)

В соотношении (1)  – стохастический процесс, который описывает поведение краткосрочной процентной ставки. Предположим что изменение  происходит согласно модели Халла-Уайта [3, 4], т.е. процесс  подчиняется неднородному линейному стохастическому дифференциальному уравнению.

                             , ,                         (2)

где  – стандартный виннеровский процесс , ,  – детерминированные функции, такие что

.

В этом случае уравнение (2) имеет единственное решение [11]

                                  ,                                 

где

                                               .                                              

Cтоимость  бескупонной облигации со сроком погашения  в момент времени , , определяется формулой [9] теорема 1 п.5

                                                                             

С другой стороны процесс  имеет имеет однофакторную афинную временную структуру [11]

                                       ,                                      

где

         , .     (3)

Будем предполагать, что относительно исходной меры на  дисконтированная цена облигации  – мартингал, тогда рассматриваемый рынок является безарбитражным [9, 11].

И так, пусть в момент времени  инвесор формирует капитал, состоящий из банковского счета  и бескупонной облигации  со сроком погашения

                                  , , .

Наша главная цель сформировать хеджирующую стратегию  такую, чтобы капиталл  позволил в момент времени  выполнить платежное обязательство

                                                         ,

здесь  – некоторая платежная функция, а  – фиксированный момент экспирации опциона.

В данной работе рассматривается опцион с платежной функцией вида

                                                  ,                                              (4)

где  – среднее геометрическое цен облигации на промежутоке времени , .

                                   ,                               (5)

где , .

3. Вспомогательный результат.

В дальнейшем при доказательстве основного результата работы нам понадобится следующее утверждение.

Лемма [11]. Пусть  – гауссовская пара случайных величин с вектором средних значений  и матрицей ковариаций .

Тогда

                              ,                                 (6)

а так же

           ,               (7)

где

                  , , .                      (8)

4. Основной результат.

Теорема. Пусть ‑рынок описывается соотношениями (1) и (2), тогда стоимость колл‑опциона  с платежной функцией вида (4)‑(5), капитал  и хеджирующая стратегия  определяются формулами

                                   ;                                      (9)

                                  ;                                    (10)

                                       , ,                                         (11)

где

                                 ,                                   (12)

,  , ,

а  получаются из (9) при подстановке .

Доказательство. Согласно [9, 11] для самофинансированной стратегии  эволюцию капиталла  можно представить в виде

                                          ,                                            (13)

                                  , .                                   (14)

Учитывая, что исходная вероятностная меня на  является мартингальной (13) запишем в виде

        (15)

Обозначив , событие  можно переписать в виде

Введем в рассмотрение случайные величины

, ,

где , определены формулами (3). Продолжая (15), имеем

                                                       

Вычислим числовые характеристики случайных величин ,  и

                                       (16)

                                                   

                                             

                                                       

                                          

                                                                    (17)

         

        (18)

Используя (6), (7) получим

                                                         (19)

Подставляя в (19) выражения (16)-(18), получим (10). Формула (9) следует из того, что . Из (8) следует, что

                                .                                  (20)

Из (12) вытекает

                                          .                                            (21)

Из (10), (17) следует

                     , .                       (22)

А, учитывая (9), (20) получим

                             .                              (23)

Из (12), (21) получаем

                                           .                                             (24)

Таким образом, из формул (23), (24) и (21) вытекает, что . И, наконец, формулу (11) получаем с учетом (10), (14), (22). Теорема доказана.

Следствие. Доказанная теорема справедлива для частных случаев модели Халла-Уайта. Для модели Васичека, в которой ,  имеем

.

А для модели Хо–Ли, для которой ,  очевидно

         .

5. Вывод. В работе получены формулы, определяющие  стоимость, хеджирующую стратегию (портфель) и капитал для азиатского опциона купли средней цены на диффузном ‑рынке облигаций с платежной функцией (4). Общие результаты контретизированы для моделей Хо–Ли и Васичека. Полученные результаты могут служить основой для дальнейших исследований в области теории экзотических опционов на рынке облигаций.

Литература:

1. Black F. The Pricing of Otions and Corporate Liabilities / F. Black, M. Scholes // Journal of Political Economy. ‑1973. ‑Vol. 81. ‑No. 3. ‑P.637–659.

2. Merton R.C. Theory of Rational Option Pricing / R.C. Merton // Bell Journal of Economics and Management Science. ‑1973. ‑Vol. 4. ‑No. 1. ‑P.141–183.

3. Hull J. Pricing interest rate derivative securities / J. Hull , A. White // Review of Financial Studies. ‑1990. ‑Vol. 3. ‑Nо. 5. ‑P. 573. –592.

4. Hull J. Bond option pricing on a model for the evolution of bond prices / J. Hull , A. White // Advances in Futures and Options Research. ‑1993. ‑Nо. 6.
‑P. 1–13.

5. Буренин А.Н. Фьючерсные, форвардные и опционные рынки. ‑Изд. 3-е, перераб., доп. / А.Н. Буренин. ‑М.: Научно-техническое общество имени академика С.И.Вавилова. ‑2003. ‑337 с. ‑ISBN 5-902189-02-0

6. Буренин А.Н. Форварды, фьючерсы, опционы, экзотические и погодные производные / А.Н. Буренин. М.: Научно-техническое общество имени академика С.И.Вавилова. ‑2005. ‑534+6 с. ‑ISBN 5-90218-906-3. ‑ISBN 1683-0393.

8. Вайн С. Опционы. Полный курс для профессионалов /C. Вайн. ‑М.: Альпина Паблишер, ‑2003. ‑416с. ‑ISBN 5-94599-080-9.

9. Мельников А.В. Математика финансовых обязательств / А.В. Мельников, М.Л. Нечаев, С.В Волков –М.: ГУВШЭ. ‑2001. ‑253 с.
‑ISBN 5-7598-0087-6

10. Халл Д.К. Опционы, фьючерсы и другие производные финансовые инструменты. М.: Вильямс, ‑2007. ‑1056 с. ‑ISBN 978-5-8459-1205-3,
0-13-149908-4

11. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Т.1. факты и модели. М.: ФАЗИС, 1998.

Т.1. Факты и модели. –512 с. ‑ISBN 5-7036-0043-Х.

Т.2. Теория. –544 с. ‑ISBN 5-7036-0044-8.