д.п.н. Р.В.
Гурина, бакалавр физики М.В. Дятлова
Ульяновский государственный университет
МЕТОД ШЕННОНА В ОЦЕНКЕ РАЗНООБРАЗИЯ
АСТРОФИЗИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Закон необходимого разнообразия Эшби [1] находит отражение в ранговых распределениях (РР)
ценозов. Теория Эшби и метод рангового анализа, разработанный Б. И. Кудриным
взаимосвязаны: математическим
выражением принципа разнообразия
является гиперболический закон РР объектов (особей) в системе (ценозе) [2]:
, (1)
где W – ранжируемый параметр, r – ранговый номер объекта в порядке убывания W, А – максимальное значение параметра особи с
рангом 1; b – коэффициент, характеризующий степень крутизны
гиперболы. Для рангово-видовых распределений
W – численность вида в процентном выражении – это доля объектов вида в составе 100
процентов объектов системы, А – процентный состав особей вида с рангом r = 1. Для астрофизических систем также справедлив
закон (1) [3].
Как количественно сравнить
разнообразие двух и более ранговых систем? Первой задачей исследования являлось
определение способа описания разнообразия астрофизических систем. По аналогии
с описанием видового разнообразия
экосистем, технических систем нами использовался метод Шеннона. При этом индекс Шеннона Н равен [4]:
, (2)
Где k – количество
видов в системе, рi = W / Wо – доля
элементов данного (i–го) вида в общем количестве элементов или вероятность
обнаружения объекта данного вида. При этом Н = 0 при р = 1 (разнообразие
отсутствует).
Произведено моделирование РР
астрофизических систем из одинакового количества элементов и 10 видов с различными типами разнообразия (рис. 1,
графики 1-4). График 1 иллюстрирует отсутствие разнообразия Н=0, в системе
имеется только один вид (№ 10). Для
трёх других строго упорядоченных систем (графики 2 - 4) РР количественного видового состава (в
долях) рi представляют: прямую,
параллельную оси ординат – график 2 – разнообразие максимально
(вероятность обнаружения всех 10-и видов системы одинакова); линейно убывающую
зависимость – 3, и идеальную гиперболу
– 4 с β=1. Для них Н= 3.32; 3.10; 2, 88 соответственно. Чем меньше разнообразие,
тем меньше Н: система 4 с гиперболическим
распределением элементов наименее разнообразна,
|
Рис.1. РР
с различными типами разнообразия: 1
–
разнообразие отсутствует; 2
– максимально разнообразная система: 3
– линейно
убывающее РР видовых составов элементов; 4
– гиперболическое
РР видовых составов |
|
Вторая задача исследования – выяснение
зависимости индекса Шеннона Н от рангового коэффициента β. Для решения задачи были построены 23 рангово-видовых
распределений составов по эмпирическим данным таблиц справочников и электронных
ресурсов [5, 6 и др.]: РР состава атмосфер Венеры, Титана, Марса, Юпитера,
Нептуна, Меркурия, ресурсов воды на Земле,
состава космического излучения,
химического состава железных, железно-каменных и каменных метеоритов,
лунного грунта; состава звёзд g-
Пегаса, t – Скорпиона, x- Персея в относительных количествах атомов в звезде; состава
океанической воды, гидросферы, литосферы и атмосферы Земли, Мертвого моря, состава
фотосферы и атмосферы Солнца, жизненно
важных элементов в организме человека и др. Все эмпирические РР
аппроксимируются уравнением (1) с высоким коэффициентом регрессии Re = 0,85-0,99. При этом число
объектов в системах колеблется от 3-х до 22.
Результаты иллюстрируются графиками рис. 2 и 3. Средняя линия –
аппроксимационная, по обе стороны от неё –
линии доверительного интервала, который составлял 0,95. На рис. 2 а
представлен эмпирический график Н (b ) с
аппроксимацией гиперболической зависимостью:
H (β)= Н max/ β α , (3)
где Н max –
максимальное значение индекса Шеннона,
α – коэффициент, определяющий крутизну гиперболы. На рис 2,б – график ln H (ln β).
а) б)
Рис.2.
Эмпирическая зависимость Н (β); а) график Н (β); регрессия Re= 0,95; Н max =2,89; α = 1,2; б) спрямление графика Н (β) в
логарифмическом масштабе; регрессия Re= 0,87, α = 1,23.
а)
б)
Рис.3. Зависимость ε ( b); а) график ε ( b ); Re = 0,9; emax =
0,81; α = 1,1; б) спрямление графика
в логарифмическом масштабе; Re= 0,88, α = 1,07.
Разнообразие
гиперболических РР целесообразно оценивать относительно системы с максимальным разнообразием, т.е.
относительным коэффициентом разнообразия ε = Н/Н max, который связан с коэффициентом β обратной зависимостью:
ε = Н/Н max= Н/log2 k = Н max / (β α Н max) = 1/ β α , (4)
при β = 1, ε = ε0 = 1; α –
коэффициент, определяющий крутизну гиперболы.
На рис. 3, а – эмпирическая зависимость ε ( b ) для
23-х рассмотренных РР:
e (β)=emax/ β α , (5)
при этом
α = 1,1; emax= 0,81. На рис. 3,б –
график ln e (ln β).
Для систем 1– 4 (рис.1) k =10;
ε = 0; 1; 0,93; 0,87
соответственно.
Зная числовое значение e,
Н или β, можно сказать, насколько разнообразна система. При
этом, чем больше крутизна гиперболы, тем меньше индекс Шеннона и разнообразие
системы.
Таким
образом:
Закон разнообразия Эшби дополнен
количественным содержанием и принял математическую оболочку в виде ЗРР (1), в
котором ранговый коэффициент β приобрел новый смысл – он отражает степень разнообразия системы. Индекс
Шеннона Н и относительный индекс Шеннона ε связаны с коэффициентом
β обратной зависимостью. Чем
больше β, тем меньше разнообразие системы.
Литература:
1.
Эшби У.Р. Введение в
кибернетику. –Изд.
иностр. литер., 1959. – 432
с.
2.
Кудрин Б.И. Введение в
технетику. – Томск: Изд-во ТГУ, 1993. – 552 с.
3.
Дятлова М.В., Гурина
Р.В., Хайбуллов Р.А. Ранговый анализ астрофизических и физических систем //
Казанская наука , 2010, №2. – C. 8-11.
4.
Шеннон К. Е. Бандвагон.
/Работы по теории информации и кибернетике/, М., 1963.
5.
Таблицы физических величин. Справочник. /Под
ред. акад. И.К. Кикоина. – М.:
Атомиздат, 1976, 1008 с.
6.
http://www.sciteclibrary.ru – научно-техническая
библиотека SciTecLibrary.r