Волынская М.Г.

Самарский государственный университет, Россия

ЗАДАЧА ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С НЕЛОКАЛЬНЫМ ИНТЕГРАЛЬНЫМ УСЛОВИЕМ ВТОРОГО РОДА

В данной работе рассмотрена задача для гиперболического уравнения второго порядка с нелокальным интегральным условием второго рода. Нелокальными интегральными задачами в литературе принято называть задачи, в которых задаются условия, связывающие значения искомого решения и (или) его производных в различных точках границы, либо же в точках границы и каких-либо внутренних точках. Среди нелокальных задач большой интерес представляют задачи с интегральными условиями, которые являются обобщением нелокальных условий, заданных в виде линейной комбинации. Подобные условия описывают поведение решения во внутренних точках области в виде некоторого среднего. Нелокальные задачи с интегральными условиями ставились и изучались как для обыкновенных дифференциальных уравнений, так и для уравнений с частными производными. Задачи такого типа часто возникают при математическом моделировании различных физических, химических, биологических или экологических явлений, если вместо классических краевых условий задана определенная связь значений искомой функции на границе области и внутри неё. Подобные ситуации имеют место при изучении большого круга явлений в физике плазмы, биологии, демографии и других технологических процессах. Нелокальные задачи имеют большую практическую значимость при решении задач распространения тепла, влагопереноса в пористых средах и механике твердого тела, так как позволяют управлять напряженно-деформированным состоянием.

В настоящее время теория нелокальных задач интенсивно развивается и представляет собой важный раздел теории дифференциальных уравнений с частными производными, особый интерес в этой области представляют задачи с нелокальными интегральными условиями. Такие задачи служат удобным способом описания условий на искомое решение в тех случаях, когда невозможно непосредственно измерение каких-либо физических величин на границе области, но известно их усредненное значение внутри.

Важный вклад в развитие теории нелокальных задач для уравнений различных классов внесли работы Ф.И. Франкля, А.В. Бицадзе, В.И. Ильина, А.А. Самарского, A.A. Дезина, Е.И. Моисеева, А.Н. Нахушева, В.И. Жигалова, А.Л. Скубачевского, А.И. Кожанова, О.А. Репина, Л.С. Пулькиной и других авторов. Однако, вопрос о постановке и разрешимости нелокальных задач для гиперболических уравнений сравнительно мало изучен.

Рассмотрим в прямоугольной области Q={(x,t): 0<x<l, 0<t<T} задачу для гиперболического уравнения:

u_tt-(a(x,t)u_x)_x +c(t)u=f(x,t) (1)

с начальными граничными условиями:

u(x,0)=φ(x), u_t(x,0)=ψ(x), (2)

u_x(0,t)=0 (3)

и нелокальным интегральным условием:

, (4)

где: φ(x)∈; ψ(x)∈;K(x)∈ C¹[0,l]; с(t)∈ C[0,T]; a(x,t)∈; f(x,y)∈; K(l)=0.

Для исследования поставленной задачи используем метод вспомогательных

функций. Рассмотрим функцию:

. (5)

Тогда, с учетом (1)-(4), получаем вспомогательную задачу для введенной функции:

v_tt-(a(x,t)v_x)_x +c(t)v=F(x,t) (6)

v(x,0)=Φ(x), u_t(x,0)=Ψ(x), (7)

v_x(0,t)=0 , v(l,t)=0. (8)

Получено интегральное тождество, с помощью которого определяется обобщенное решение задачи (5)-(8). Доказанo, что обобщенное решение задачи (5)-(8) существует и единственно. Следовательно, задача (1)-(4) однозначно разрешима.

Очевидно, что исследование нелокальных краевых, начально-краевых задач, разработка и анализ методов их численного решения - актуальное, практически и теоретически весьма интересное, важное направление математики, прикладной и вычислительной математики.

Литература:

1. Кожанов А.И., Пулькина Л.С. О разрешимости некоторых граничных задач со смещением для линейных гиперболических уравнений, Матем. журнал ин-та матем., Алматы 9 (2) (32), 2009, 78–92

2. Пулькина Л.С. Краевые задачи для гиперболического уравнения с нелокальными условиями 1 и 2-го рода, Изв. вузов, Матем., №4, 2012, 74–83

3. A. И. Кожанов, Л. С. Пулькина, “О разрешимости краевых задач с нелокальным граничным условием интегрального вида для многомерных гиперболических уравнений”, Дифференц. Уравнения, 42(9), 2006, 1166-1179