к.ф.-м.н., доцент Водахова В.А.

 

Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.Ю. Бербекова, Россия

 

Нелокальная задача для нагруженного гиперболо – параболического уравнения третьего порядка.

 

 

         Рассматривается уравнение

 

                                        (1)

в конечной области , ограниченной отрезками  и  прямых  соответственно, и характеристиками    уравнения (1) при .

         Пусть . Под регулярным решением уравнения (1) понимается функция , обладающая непрерывными частными производными до порядка, входящего в уравнение (1) и обращающее его в тождество.

         Задача 1. Найти регулярное в области  решение уравнения (1), непрерывное в , удовлетворяющее следующим условиям

                                     (2)

                               (3)

где  внутренняя нормаль, заданные функции, причем

                   ;

                     и условиям склеивания

                   .

Выписывая решение уравнения (1) в области  и, удовлетворяя краевым условиям (3), получим функциональное соотношение между  и , принесенное на  из гиперболической части области

         ,                                                          (4)

где

                  

Функциональная связь между   и , принесенная из параболической части  области  получается из уравнения (1) при

                   .                                                              (5)

Исключая из (4) и (5) , получаем обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка

                   .                                                     (6)

С учетом краевых условий (2) получаем двухточечную краевую задачу для обыкновенного дифференциального уравнения

                   ,

                  

решение которой имеет вид

Тогда задача 1 сводится к следующим двум задачам:

Задача А:

                             

.

Задача В.

                  

,

.

Решение задачи А представлено в виде

Решение задачи В имеет вид

                 

где функция Грина первой краевой задачи для уравнения теплопроводности.

         Аналогично исследован вопрос однозначной разрешимости краевой задачи.

         Задача 2. Найти функцию , которая удовлетворяет условиям:

1)

2)  является регулярным решением уравнения (1) в , ;

3)  удовлетворяет условиям

                                     ,

где  точка пересечения характеристик уравнения  выходящих из точки   с характеристикой .

 

                                                                                    

 

 

Литература

1.     Джураев Т.Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов, изд. «ФАН», Ташкент, 1979 г.

2.     Нахушев А.М. Краевые задачи для нагруженных интегро-дифференциальных уравнений гиперболического типа и некоторые их приложения к прогнозу почвенной влаги. Дифференц. уравнения, т.15, №12, 1979 г.

3.     Елеев В.А., Макоева М.Х. О некоторых краевых задачах для смешанных уравнений гиперболо - параболического типа второго и третьего порядка. Нальчик, Известия КБНЦ РАН, №1(8), 2002 г.