Абдрахманов Р.

Турдикулова Ж.

                                           Абдурахманов C.

 

Международный казахско-турецкий университет имени Х.А.Ясави, г.Туркестан

Tашкентский государственный технический университет имени А.Р.Беруни, г. Ташкент

 

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ  ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФИЦИЕНТАМИ

 

 

В настоящей статье предлагается численный метод решение линейного дифференциального уравнений второго порядка с переменными коэффициентами. Правильность предложенного метода доказывается на примере решение которого заранее известно.

 

Известно, что многие задачи механики и прикладной математики приводиться к решению дифференциалному уравнению следующего вида. [1,2]

                         (1)

С начальными условиями:

,                                (2)

где  и  -известные интегрируемые функции на интервале . Разбиваем отрезок   на n частей точками  и назовём решением уравнение (1) значении неизвестной функции в этих точках т.е .     

Последовательно интегрируя уравнений (1) в интервале от 0 до  где  получим

Проводя интегрирование по частям в первых двух интегралах  и заменяя интегралы на интегральную сумму получим систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных .

,         (3)

  где - известные коэффициенты, зависящий от выбора  метода замены интеграла на интегральную сумму.

Решая систему линейных алгебраических уравнений (3) известными методами получим решение уравнений (1) с начальными условиями (2). Для  решения этой системы составлена программа на алгоритмическом языке Паскаль. Ниже приводится тестовый пример.

Пример. Очевидно точным решением дифференциалного уравнение

является функция  . В таблице приведена точная и приближенная решения уравнение. Заметим, что предложенный метод решения дает возможность  получить необходимую точность, уменьшая шаг интегрирования решение задачи,  поскольку в настоящее время позволяет современные компьютеры.

 

приближенная решения

 точная решения

0.0

0,999999999

1,0000000

0.1

1,105170918

1,106170918

0.2

1,221402758

1,22402758

0.3

1,349858808

1,34858808

0.4

1,491824698

1,49824698

0.5

1,648721271

1,64721271

0.6

1,822118801

1,821188

0.7

2,013752707

2,0152707

0.8

2,225540928

2,2240928

0.9

2,459603111

2,45603111

1.0

2,718281828

2,71281828

 

 

 

Литература

  1. Бадалов Ф.Б.  Методы решения интегральных и интегро-дифференциальных уравнений наследственной теории вязкоупругости. Ташкент, Мехнат, 1987 г., 269 с.