Математика/4. Прикладная математика

 

Асканбаева Г.Б.

Костанайский государственный университет им. А. Байтурсынова, Казахстан

Унитарные пространства

 

     Пусть дано комплексное линейное пространство . Говорят, что в  определена операция скалярного умножения векторов, если любой паре векторов х и у из   поставлено в соответствие комплексное число, называемое скалярным произведением векторов х и у и обозначаемое символом  , и если для любых х,у,z из  и любого комплексного числа α выполняются следующие аксиомы:

1.                            

2.                            

3.                            

4.                              при   и  при

    Определение: Комплексное n-мерное линейное пространство, в котором определена операция скалярного умножения векторов, называют n-мерным унитарным пространством  и обозначают через .

     Из первой, второй, третьей аксиом скалярного произведения следует

                                                  (1)                                                                              (2)

                                                         (3)

Если в унитарном пространстве   фиксирован базис , то любые векторы х и у имеют в нем разложения

         , то      

или в матричной записи

где  положено    

 - матрица Грамма

Поскольку ( еi,ej) = (ej,ei), матрица грамма удовлетворяет условию

                                                                      (4)

Звездочка означает транспонирование матрицы с последующей заменой в ней элементов на комплексно сопряженные. [1]

    Определение. Матрицу  называют сопряженной к матрице . если  , то матрицу А называют эрмитовой. Так, в силу условия (4), матрица Грамма – эрмитова. Если матрица  действительная, то  

     В унитарном  пространстве, как и в евклидовом, длину вектора определяют формулой

                                                                                           (5)

      Понятие угла между векторами в унитарном пространстве, как правило, не вводят. Рассматривают лишь случай ортогональности векторов. При этом, как и в евклидовом пространстве, ортогональными считают векторы х и у, удовлетворяющие  условия (х,у) = 0.

    Формула скалярного произведения  принимает вид

                                               (6)

а для скалярного квадрата она превращается в формулу

              (7)

Эти формулы постоянно применяются при решении задач в унитарном пространстве.

      Определение: Квадратную матрицу , для которой сопряженная матрица  , называют унитарной. Иначе, квадратную матрицу  называют унитарной, если выполнены условия

                           

     В унитарной матрице столбцы (строки) составляют ортонормированную систему столбцов (строк). Произведение унитарных матриц является унитарной матрицей. Унитарные матрицы обладают и другими важными свойствами. Здесь существенным является то, что матрицей перехода от одного  ортонормированного базису унитарного пространства к другому ортонормированному базису является унитарная матрица. Очевидно, действительная унитарная  матрица  является ортогональной. [3]

 

Литература:

1. Шевцов Г.С. Линейная алгебра..- М.: Гардарики, 1999.-359с.

2. Воеводин  В.В. Линейная алгебра. М.:Наука, 1974.-314с.

3. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре.-М, Наука, 1971.-71с.