Математика/ Математическое моделирование

ӘОЖ 378.016.02:51-8:164.2(574)

 

П.ғ.к., доцент  Джанабердиева С. А.

Абай атындағы Қазақ ұлттық педагогикалық университет

Қазақстан Республикасы, Алматы қ.

Профессор, PhD докторы Жуо Джиндоң (Guo Jindong)

Іле мемлекеттік университеті

 ҚХР, Құлжа қаласы

Магистрант Қожаков Е.

Сүлеймен Димирель университеті

 

 «СИҚЫРЛЫ» ШАРШЫЛАРДЫ МАТЕМАТИКА САБАҚТАРЫНДА қолдану

 

Математика сабақтарында мектеп оқушыларын пәнге қызықтыру үшін «сиқырлы» шаршыларды пайдалану әдістемесінің оқушылардың базалық математикалық білімдерін қалыптастырудағы ролін қарастырғанда, ең әуелі, сабақ үрдісіне қызықты элементтерді, мысалы, «сиқырлы» шаршыларды қосу оның бағасын төмендетіп, ойынға айналдыру қаупі бар ма, деген мәселе назар аударады.

Қиын терминдер мен ұғымдарды қызықты әдістермен жеткізе білу, математика сабағын қиын да, қызықсыз пәннен тартымды пәнге айналдырады, оқушыларды өздігінен әрекет жасап, қорытынды түюге жағдай жасап, шығармашылық зейінмен ойлауға жол ашады. Оқытуға қызықты сипат беру қазіргі күнгі мектепте математиканы оқытуға міндетті талаптардың бірі болып табылады.

Жеке тұлғаны дамытудың шешуші факторларының бірі – гуманитарлық пәндердің фундаменті болып табылатын сөйлеу мәдениеті көбінесе математика сабақтарында ескерілмей қалады. Бірақ, «сиқырлы» шаршыларды пайдаланудың мүмкіншілігі мұнда да зор.

«Сиқырлы» шаршыларды пайдаланудың, қызықты математикалық білім берудің концептуалдық негізінің сапасы: коэволюциялық үрдіс, логикалық қабілеттерді дамыту, ойлауларды дамыту идеясы, қызықтыру идеясы түрінде көрініс табады.

Математикадан білім берудің көкейкесті мәселелерінің бірі білім алушыларды математика сабағына қызықтыру арқылы олардың логикалық ойлау үрдісін өздерінде қалыптастыру негізінде базалық бағдарламаны игеруі және өзіндік дамуға шыңдалуға бағыттау болып табылады. Бұл  мәселені шешу жаңа ақпарат және әдістемелік технологияларға, математикалық ойлауды қалыптастыруға, математикалық білім алуға, дарынды оқушыларға терең білім беруді қамтамасыз етуге, математикалық дүние танымды қалыптастыруға, математиканы ұнатпайтын оқушыларды математикаға қызықтыруға, оларға математиканы оқытудың  психологиялық-педагогикалық аспектілерін ескеруге т.б. сүйенеді.

Осындай жаңа технологиялық әдістемелердің бірі математиканы оқытуда «сиқырлы» шаршыларды пайдалану және оны құруға компьютерлік анимацияларды [1] қолдану. Осыған мысал келтірейік.

1-Мысал. Келесі арифметикалық прогрессия мүшелерінен сиқырлы шаршы құрастырыңыз 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Берілген арифметикалық прогрессиясының мүшелерін 1, а-суреттегідей етіп орналастырайық [2]. Бос орындарға шеткі мүшелерді (1 мен 9-ды және 3 пен 7-ні)  компьютерлік анимацияның көмегімен жылжыту арқылы айқыш етіп ауыстырайық. Сонда, пайда болған, 1, ә-суреттегі шаршы – «сиқырлы» шаршы болып табылады.

 

Мұндағы,  .

 

 

 

 

3

 

 

2

 

6

 

1

 

5

 

9

 

4

 

8

 

 

7

 

 

2

7

6

9

5

1

4

3

8

 

               

 

 

                                       а                                ә                

1-сурет

 

Білім алушылардың тез есептеу біліктілігін қалыптастыру үшін «сиқырлы» шаршыларды пайдалануға арналған тапсырмалар.

2-мысал. Сиқырлы шаршынының белгісіз элементтерін табыңыз (2-сурет).

Шешуі: ; ; ; ; ; ;; ; .

Жауабы: 3-суретке қараңыз.

222

999

111

444

333

 

222

777

666

999

555

111

444

333

888

 

 

 

 

 

              2-сурет                                      3-сурет

 

Арифметикалық және геометриялық прогрессиялардан сиқырлы шаршылар, есептер құрастыруды қарастырайық.

3-мысал. Сиқырлы шаршынының белгісіз элементтерін табыңыз (4-сурет)

Шешуі: Диагональдағы сандарды тоғыз мүшелі арифметикалық прогрессияның ортаңғы мүшелері десек: . Осыдан арифметикалық прогрессияның  айырмасын табамыз: . Енді арифметикалық прогрессияның  -ші мүшесінің  формуласы бойынша қалған мүшелерді табамыз: , ;  , , , . Ары қарай есепті екі нұсқамен шешуге болады.

Бірінші нұсқа: осы мәліметтерді 5-суреттегідей етіп орналастырайық. Сонда 6-суреттегі орналасуды аламыз. 6-суреттегі 2 мен 26–ның орындарын сәйкесінше ** мен * орындарына, ал 8 бен  20-ның орындарын сәйкесінше **** мен  *** орындарына алмастырып орналастырсақ ізделінді «сиқырлы» шаршыны аламыз (7-сурет). Бұл шаршыда тік, көлденең бағандар мен диагональдардың әрқайсысына орналасқан сандардың қосындысы тұрақты  санына тең болады.

Шешудің екінші нұсқасын қарастырайық. Табылған прогрессияның, яғни  арифметикалық прогрессиясының ең кіші мүшесін ең үлкен мүшесінің қасына орналастырайық (8-сурет). Енді бос орындарды толтыру үшін ортақ қосындының 42-ге тең екенін ескерсе болғаны. Мысалы, жоғарғы жолдың сол жағындағы төркөзге орналасқан сан:  (9-сурет), т.с.с.:  (10-сурет);  (11-сурет);

 

 

8

 

 

 

5

***

17

 

2

*

14

**

26

 

11

****

23

 

 

 

20

 

 

 

5

20

17

26

14

2

11

8

23

 

 

 

17

 

14

 

11

 

 

 

 

 

 

 

 

17

 

 

14

 

 

11

 

 

 

 

 

 

 

     

   

4-сурет                       5-сурет                                       6-сурет                   7-сурет                                                                       

 

 (12-сурет).  Жауабы: 12-суретке қараңыз.

 

2

17

 

14

 

11

 

 

23

2

17

 

14

 

11

26

 

8-сурет

9-сурет

 

23

2

17

 

14

 

11

26

5

23

2

17

8

14

 

11

26

5

23

2

17

8

14

20

11

26

5

10-сурет

11-сурет

12-сурет

 

4-мысал. Берілгені ;  арифметикалық прогрессиядан сиқырлы шаршы құрастырыңыз.

Шешуі: Есептің шартына сәйкес арифметикалық прогрессия:  (13-сурет). Жауабы: 14-суретке қараңыз.

5-мысал. Берілген тізбегінен сиқырлы шаршы құрастырыңыз.

Шешуі: Берілген тізбектің ортаңғы мүшелері арифметикалық прогрессия құратынын ескерсек:      (15, 16-суреттер).

    Жауабы: 16-суретке қараңыз.

 

 

18

 

 

 

11

 

39

 

4

 

32

 

60

 

25

 

53

 

 

 

46

 

 

11

46

39

60

32

4

25

18

53

 

 

5

 

 

 

2

 

14

 

-1

 

11

 

23

 

8

 

20

 

 

 

17

 

 

 

2

17

14

23

11

-1

8

5

20

13-сурет

14-сурет

15-сурет

16-сурет

 

Әрбір баған, әрбір жол және әрбір диагоналдардағы сандардың көбейтіндісі тұрақты санға тең болатын натурал сандардан құрастырылған «сиқырлы» шаршыларды қарастырайық.

6-мысал. Геометриялық прогрессия мүшелерінен құрастырылған «сиқырлы» шаршының белгісіз мүшелерін табыңыз (17-сурет)

A) 3, 31, 15, 7; B) 10, 80, 40, 20; C) 5, 33, 17, 9; D) 6, 34, 18, 10; E) 7, 35, 19, 11

Шешуінің 1-нұсқасы: «сиқырлы» шаршының белгісіз мүшелерін a, b, c, d деп белгілейік (18-сурет) және сиқырлы шаршының тұрақтысын табайық: .  

Сонымен: .  Жауабы: B (19-сурет).

 

 

320

160

1280

 

5

 

 

640

a

320

160

1280

b

5

c

d

640

10

320

160

1280

80

5

40

20

640

17-сурет

18-сурет

19-сурет

 

Шешуінің 2-нұсқасы (20-23-суреттер): .

 

 

 

320

160

 

 

5

1280

 

640

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

20

 

 

 

10

 

160

 

5

 

80

 

1280

 

40

 

640

 

 

 

320

 

 

 

10

320

160

1280

80

5

40

20

640

20-сурет

21-сурет

22-сурет

23-сурет

 

Білім алушылардың теріс сандарға амалдар қолдану біліктілігін қалыптастыруға «сиқырлы» шаршыларды пайдалануға арналған тапсырмаларды қарастырайық.

7-мысал. 24-суретте көрсетілген теріс сандардан «сиқырлы» шаршы құрастырыңыз.

Шешуі:   (24-сурет).   (25-сурет).   (26-сурет).  (27-сурет).   (28-сурет).  (29-сурет).

Жауабы: 29-суретке қараңыз.

 

 

-1

-11

 

-9

 

-7

 

 

 

-15

-1

-11

 

-9

 

-7

 

 

 

-15

-1

-11

-5

-9

 

-7

 

 

24-сурет

25-сурет

26-сурет

 

-15

-1

-11

-5

-9

-13

-7

-17

 

 

-15

-1

-11

-5

-9

-13

-7

-17

 

 

-15

-1

-11

-5

-9

-13

-7

-17

-3

27-сурет

28-сурет

29-сурет

 

Басқаша шешсек:   (30, 31-суреттер).

Жауабы: 31-суретке қараңыз.

 

 

 

-5

 

 

 

-3

 

-11

 

-1

 

-9

 

-17

 

-7

 

-15

 

 

 

-13

 

 

 

-3

-13

-11

-17

-9

-1

-7

-5

-15

30-сурет                            31-сурет

 

Білім алушылардың бөлшек сандарға амалдар қолдану біліктілігін қалыптастыруға «сиқырлы» шаршыларды пайдалануды қарастырайық.

8-мысал. Бөлшек сандардан геометриялық прогрессияны пайдаланып сиқырлы шаршы құрастырыңыз.

Шешуі:     (32, 33-суреттер).

Жауабы: 34-суретке қараңыз.

                            

 

 

 

                                                       

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

32-сурет

33-сурет

34-сурет

9-мысал. Бөлшек сандардан арифметикалық прогрессияны пайдаланып сиқырлы шаршы құрастырыңыз (35-сурет)

Шешуі:    (35-сурет). (36-сурет).     (37-сурет). (38-сурет).     (39-сурет).  

Жауабы: 40-суретке қараңыз.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

35-сурет

36-сурет

37-сурет

 

 

 

 

 

 

38-сурет

39-сурет

40-сурет

   

«Сиқырлы» шаршыларды сабақ үрдісінде тиімді пайдалану нақты дидактикалық шарттардың орындалатындығына негізделуі тиіс.

Қызықты «сиқырлы» шаршыларды пайдаланып әртүрлі есептер құрастыру, оқушылардың логикалық ойлауын дамыту үшін математика сабағының кезкелген тақырыбы бойынша іске асырыла алады.

 

Әдебиеттер

 

1.   Черкасский В.Т. Эффективная анимация во Flash. – М.: Кудиц-образ, 2002. – С.: 4-332.

2.   Берколайко С.Т. Магический квадрат и арифметическая прогрессия // Математика в школе. – 1990. – № 4. – С. 81-82.

3.   Акопов В.В. Магический квадрат и геометрическая прогрессия // Математика в школе. – 1993. – № 5. – С. 68-70.

 

SUMMER

This paper considers use of "magic" squares in the teaching of mathematics in secondary schools to develop logical thinking of students, the ability to quickly calculate due to their interest in the subject of mathematics. This article contains sample tasks in math with magic squares. Are two methods of making magic squares on the arithmetic and geometric progression. Examples are given for the formation of skills of students on the application of the action over the negative and fractional numbers way of making magic squares.