Физика/1. Теоретическая физика

Ефремов В.Е., Кузьмин М.К.

Московский государственный областной университет, Россия

Решение гидродинамической задачи в теории нестационарного диффузиофореза крупной твердой нелетучей сферической частицы

В статье решается гидродинамическая задача теории нестационарного диффузиофоретического движения крупной твердой нелетучей частицы сферической формы с учетом диффузионного скольжения газа вдоль поверхности частицы. Рассмотрим одиночную твердую нелетучую частицу сферической формы радиуса R, взвешенную в неоднородной по концентрации бинарной газовой смеси. Будем полагать, что мы имеем дело с вязкой несжимаемой газовой средой. Пусть  и  - относительные концентрации молекул бинарной смеси газов, имеем

.

Будем рассматривать первый компонент смеси в качестве диффундирующего. Обозначим через ,  средние длины свободного пробега молекул первого и второго видов соответственно. Выбор метода решения задачи построения теории нестационарного диффузиофореза твердой нелетучей сферической аэрозольной частицы зависит от отношения средних длин свободного пробега молекул газа  к размеру аэрозольной частицы [9]. Мы полагаем, что << 1, << 1, т. е., рассматриваем крупную сферическую частицу. Поэтому в исследованиях привлекаем классические методы динамики сплошной среды [6, 7]. При использовании уравнения Навье-Стокса предполагаем, что число Рейнольдса мало.

Для частицы, имеющей сферическую форму, математические выкладки удобно проводить в сферической системе координат  с началом в центре частицы. На относительно большом удалении от частицы (r >> R) предположим наличие во внешней газовой среде градиентов концентраций  и  (t – время), причем

. 

Для определенности будем считать, что направление градиента концентрации  совпадает с направлением полярной оси. Согласно выбору начала системы координат, частицу будем считать покоящейся, а центр инерции внешней среды движущимся относительно частицы при со скоростью . При этом модуль скорости диффузиофореза частицы  относительно центра инерции внешней среды определяется равенством

                                                    .                                              

Картина обтекания сферической частицы потоком газа имеет азимутальную симметрию из-за выбора направления полярной оси вдоль вектора . Поэтому рассматриваемые переменные величины не зависят от угла . Такое поле течения называется  осесимметричным.

Дифференциальные уравнения движения вязкой несжимаемой среды в сферических координатах при ее осесимметричном течении без учета действия массовых сил можно представить в виде [7]

                           ,                                

,

                                                                                                                   

,

где

,

,  – соответственно радиальная и касательная компоненты локальной среднемассовой скорости газовой среды ,  – кинематический коэффициент вязкости,  – плотность среды,  – давление.

На достаточно большом расстоянии от частицы (при ) справедливы граничные условия [10]:

                                            ,                                             

                                            .                                           

На поверхности частицы справедливо граничное условие

                                                       ,                                                   

показывающее, что твердая поверхность частицы неподвижна.

Распределение концентрации первого компонента бинарной газовой смеси удовлетворяет дифференциальному уравнению

                                             ,                                            

где  – коэффициент диффузии.

На поверхности частицы выполняется граничное условие:

                                                           .                                          

Это условие означает, что на поверхности частицы не происходит изменения концентрации первого компонента смеси.

При  справедливо граничное условие

                                       ,                               

где  (– среднее число молекул первого компонента газовой смеси в единице объема, – среднее число молекул газовой смеси в единице объема).

Учет явления диффузионного скольжения газа вдоль поверхности частицы описывается следующим граничным условием [10]:

                                        ,                                   

где  – коэффициент диффузионного скольжения.

При построении теории нестационарного диффузиофореза мы предполагаем, что при нулевом значении времени имеет место его стационарный случай, а при значениях времени  происходит наложение строго нестационарного диффузиофореза на имеющийся стационарный процесс. Поэтому необходимо провести разделение граничных условий для стационарного и строго нестационарного случаев диффузиофореза.

Для давления полагаем

,

,

следовательно,

.

Проведем дальнейшее разделение граничных условий для стационарного и строго нестационарного случаев диффузиофореза. Полагаем

                                ,                               

                                     ,                                   

причем,

                                         ,                                       

                                             ,                                        

следовательно,

                                            ,                                             

                                               .                                              

Следует считать, что

                                               ,                                             

                                                  ,                                                  

                                                 .        

Таким образом, гидродинамическая задача разбивается на стационарную и строго нестационарную части.   В результате решения стационарной части этой задачи получается условие для определения абсолютной величины диффузиофоретической скорости частицы, учитывающее явление диффузионного скольжения газа в стационарном случае:

                                         .   

Решение строго нестационарной части гидродинамической задачи проводится методом интегральных преобразований Лапласа [5].

 Пусть    – плотность вещества сферической частицы.  Тогда  при  получаем условие для определения нестационарной составляющей диффузиофоретической скорости частицы

,

где символ обозначает операцию свертывания, а

где

,

В случае  получаем равенство

,

аналогичное равенству, имеющему место в стационарном случае диффузиофореза.

Для того, чтобы получить окончательные формулы, описывающие зависимость стационарной и нестационарной составляющих диффузиофоретической скорости сферической частицы от соответствующих слагаемых градиента концентрации, необходимо решить надлежащую диффузионную задачу и определить выражения

, .

 

Литература

 1. Баринова М. Ф., Костицына Л. И., Яламов Ю.И. Теория движения твердой сферической частицы в неоднородной вязкой среде. – М.: Издательство МГОУ, 2005. – 120 с.

2. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Т. 1. – М.: Наука, 1969. – 344 с.

3. Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и Z-преобразования. – М.: Наука, 1971. – 288 с.

4. Коренев Б. Г. Введение в теорию бесселевых функций. – М.: Наука, 1971. – 288 с.

5. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. – СПб.: Лань, 2002. – 688 с.

6. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Т. 6. Гидродинамика. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. – 736 с.

7. Слезкин Н. А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости. – М.: Гостехиздат, 1955. – 520 с.

8. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. – М.: Издательство МГУ, Наука, 2004. – 798 с.

9. Фукс Н. А. Механика аэрозолей. – М.: Издательство АН СССР, 1955. – 352 с.

10. Яламов Ю. И., Галоян В. С. Динамика капель в неоднородных вязких средах. – Ереван: Луйс, 1985. – 208 с.

11. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. – М.: Наука, 1968. – 344 с.