К.т.н. Август А.А.
Харьковский национальный университет радиоэлектроники,
Украина
Абсурдность модели
циркуляции в постулате
Жуковского-Чаплыгина-Кутта
Статья «Постулат Жуковского-Чаплыгина» в
виртуальной энциклопедии (http://ru.wikipedia.org/wiki/Постулат_Жуковского-Чаплыгина) определяет циркуляцию
вокруг профиля крыла как «фиктивную», «виртуальную» величину, но никак не
объясняет физические причины появления этой циркуляции.
Введение «фиктивной циркуляции» в
безвихревую модель Д’Аламбера-Эйлера – это попытка объяснить возникновение
подъемной силы в потенциальном потоке идеальной среды, в котором любые силы
взаимодействия с твердым телом всегда равны нулю (в соответствии с законом
сохранения энергии) [1].
Сам факт появления циркуляции вокруг
профиля крыла при стационарном безвихревом обтекании его идеальной средой –
противоречит теореме Лагранжа, в которой доказано, что «циркуляция скорости
(или вихрь скорости) во всех точках баротропно движущейся идеальной среды под
действием объемных сил с однозначным потенциалом остаются нулевыми» [2].
Такое противоречие объясняют тем, что в
соответствии с теоремой Лагранжа циркуляция остается нулевой только для
односвязных контуров, т.е. для контуров, которые при уменьшении размеров могут
стянуться в точку. Если при уменьшении размеров контур охватывает твердые тела,
т.е. не может стянуться в точку, то такой контур называется многосвязным и для
такого контура возникновение или изменение величины циркуляции допускается даже
без внешних источников энергии [2].
Эти слишком витиеватые словесные выкрутасы
никак не объясняют противоречащее закону сохранения энергии появление или
изменение циркуляции вокруг контура твердого тела (или, как принято говорить,
появление «присоединенного вихря»), т.е. изменение общей кинетической энергии в
потоке идеальной среды без внешних источников энергии.
В постулате Жуковского-Чаплыгина-Кутта
говорится о возникновении циркуляции вектора скорости только возле профиля
крыла, но ничего не говорится о величине циркуляции на произвольном расстоянии
от крыла. На рис. 1 приведена модель обтекания профиля крыла в соответствии с
постулатом Жуковского-Чаплыгина-Кутта. Пунктирными линиями показаны линии тока
идеальной среды. Сплошными линиями показаны: контур циркуляции HGFE вокруг профиля крыла и произвольный контур ABCD.
Произвольный отрезок прямой AH соединяет эти два контура. На рис. 1 можно выделить
образовавшийся замкнутый односвязный контур HABCDEFGН. В соответствии с теоремой Лагранжа при безвихревом
обтекании идеальной средой любых твердых тел циркуляция для всех односвязных
контуров остается нулевой.
Линейные интегралы на отрезке HA и DE равны и
противоположны по знаку, т.е. сумма этих линейных интегралов равна нулю. Поэтому
равна нулю сумма оставшихся линейных интегралов (т.е. циркуляций) по контурам ABCD и EFGH:
Г(ABCD) + Г(EFGH) = 0.
Из этого равенства следует, что циркуляции
по этим многосвязным контурам равны и противоположны по знаку:
Г(ABCD) = – Г(EFGH).
Если эти контуры обходить в одном
направлении (например, по часовой стрелке), то величины этих циркуляций будут
равны:
Г(ABCD) = Г(HGFE). (1)
Для однородного стационарного потока
идеальной среды величины циркуляций вектора скорости на больших расстояниях от
твердых тел равны нулю. Поэтому, в соответствии с равенством (1), равна нулю и
циркуляция вектора скорости вокруг профиля крыла произвольной формы.
Возможна и альтернативная интерпретация
равенства (1): в безвихревом потоке идеальной среды при появлении отличной от
нуля циркуляции вектора скорости (или «присоединенного вихря») вокруг профиля
крыла – аналогичная по величине циркуляция возникает и по любому другому
произвольному контуру вокруг профиля этого крыла, даже на бесконечном
расстоянии от него. Этот глобальный вихрь или смерч с бесконечными размерами
возникает вокруг профиля крыла без каких-либо источников энергии, буквально из
ничего – «по щучьему велению – по моему хотению» (правильнее было бы сказать:
«по хотению Жуковского, Чаплыгина, Кутта»).
Направление и скорость этого глобального
смерча можно легко менять, изменив только один геометрический параметр профиля
крыла – угол атаки. Нормальный разум этого воспринять не сможет – повернув
только угол атаки, можно поменять скорость и направление глобального,
бесконечного вихря или смерча, который образуется из ничего, сам по себе, в
потенциальном безвихревом потоке идеальной среды. Никакие источники энергии в
модели Жуковского-Чаплыгина-Кутта не нужны.
Чего только ни придумывали за последние
сто лет для того, чтобы хоть как-то обосновать или объяснить безотрывное
обтекание профиля крыла с «присоединенным вихрем». Например: «Сначала
необходимо рассматривать это течение как невязкое с бесконечными скоростями на
передней и задней кромках твердых пластин и затем преобразовать его в реальное
течение с помощью внезапного добавления вязкости, … а результирующее течение
(см. рис. 1) можно опять рассматривать как невязкое – роль вязкости заключается
в становлении его» [3]. Пытались даже прислонить к этой модели «эффект Коанды»
и многое другое.
Противоречие модели
Жуковского-Чаплыгина-Кутта закону сохранения энергии можно легко пояснить на
простом примере, понятном даже школьнику: планер (т.е. самолет без пропеллера)
или дельтаплан в соответствии с моделью Жуковского-Кутта после набора высоты и
скорости может двигаться без затрат энергии с постоянной скоростью U∞.
Сила лобового сопротивления равна нулю, а подъемная сила FY уравновешивается весом планера P = mg. С учетом
принципа относительности можно выбрать систему отсчета, в которой неподвижный
планер обтекается потоком воздуха со скоростью U∞
(см. рис. 2).
Откуда берется подъемная сила FY без дополнительных источников энергии – из этого
рисунка непонятно (возможно от «святого духа»!!!).
В следующий момент времени из планера
выпал груз массой m2 (см. рис. 3). Этот груз падает вниз с ускорением,
равным g (если не учитывать силу сопротивления воздуха).
Скорость падения груза увеличивается, а высота – уменьшается. Суммарная энергия
груза:
Епот + Екин = m ∙
g ∙
Δh2 + ρ ∙
Vв2 / 2 = const
остается постоянной в соответствии с законом
сохранения энергии.
Рис. 2 Рис.
3
После выпадения груза масса планера m1
уменьшилась, т.е. m1 < m на величину
массы груза m2 = m – m1 (см. рис. 3), и планер равноускоренно поднимается
вверх с ускорением, рассчитанным по второму закону Ньютона:
а = (FY –
P1) / m1.
У планера постоянно увеличивается и
потенциальная и кинетическая энергия (при отсутствии каких-либо источников
энергии). В соответствии с законом сохранения энергии – это полный абсурд.
Для расчета формы профиля крыла
«летательных аппаратов тяжелее воздуха» теорема Жуковского-Кутта не годится.
Основным параметром при проектировании формы крыла является коэффициент
качества, численно равный отношению величины подъемной силы к величине силы
лобового сопротивления. В модели Жуковского-Чаплыгина-Кутта величина силы
лобового сопротивления всегда равна нулю, а коэффициент качества всегда равен
бесконечности для любой формы профиля крыла.
И все-таки хоть какая-то польза от теоремы
Жуковского-Кутта есть, потому что её математическая формула позволяет
рассчитать величину боковой силы для «эффекта Магнуса» (http://ru.wikipedia.org/wiki/Эффект_Магнуса). В
этом эффекте возникновение отличной от нуля циркуляции вокруг вращающегося
цилиндра связано с затратами энергии. Циркуляция (или вихрь) не носит
глобальный характер, как в постулате Жуковского-Чаплыгина-Кутта. Поэтому
противоречий с законом сохранения энергии в эффекте Магнуса – нет.
Модель Жуковского-Чаплыгина-Кутта пытаются
применять только для очень ограниченных типов профилей, удовлетворяющих
«условию Кутта», – с закругленной передней кромкой и острой задней кромкой и
только для небольших углов атаки – до 10о. При уменьшении радиуса
закругления передней кромки, или увеличении скорости потока U∞,
или увеличении угла атаки – за точкой F (см.
рис. 1) образуются участки с отрицательными давлениями идеальной среды (что с
физической точки зрения является полным абсурдом). Моделью нулевого давления
является вакуум. А что может быть меньше вакуума?
Люди уже тысячи лет используют физические
явления, которые никаким боком нельзя притулить к модели
Жуковского-Чаплыгина-Кутта. Плоский воздушный змей парит в воздухе, имея острые
кромки спереди и сзади. Парус корабля при боковом ветре создает ортогональную
составляющую силы, которая толкает корабль вперед, перпендикулярно направлению
скорости ветра. Такой парус имеет плоский профиль с острыми кромками спереди и
сзади.
Если развернуть профиль крыла,
изображенного на рис. 1, острой кромкой вперед, – то подъемная сила все равно
будет возникать. Во всех этих примерах с острой передней кромкой нельзя
использовать модель безотрывного обтекания идеальной средой твердых тел,
возникновение «присоединенного вихря» в принципе невозможно из-за появления
бесконечного большого отрицательного давления за передней острой кромкой
профиля.
Поэтому единственным разумным методом
решения всех практических задач – является использование моделей, не создающих
отрицательные давления в потоке идеальной среды. Учитывая физическую
бессмысленность понятия «отрицательное давление», а тем более «бесконечно
большое отрицательное давление», Гельмгольц в середине 19-го века предложил
вихревую модель обтекания идеальной средой твердых тел с отрывом струй (см.
рис. 4 и рис. 5). Эта модель была доведена Кирхгофом до конкретных
математических формул [1, 2].
В
модели Кирхгофа-Гельмгольца на поверхности обтекаемого идеальной средой
твердого тела происходит, как говорят, «отрыв струй» (рис. 4 и рис. 5): линии
тока, следовавшие вдоль поверхности, в некотором месте «отрываются» от нее
(точки В и С на рис. 4 и рис. 5) и уходят в глубь идеальной среды [1, 2]. В результате
возникает картина течения, характеризующаяся наличием отходящих от тела
«поверхностей тангенциального разрыва», на которых скорость идеальной среды
(будучи направлена в каждой точке по касательной к этим поверхностям) терпит
разрыв непрерывности. Другими словами, вдоль этих поверхностей один слой
идеальной среды как бы скользит по другому, по «застойному» слою неподвижной
среды позади тела (на рис. 4 и рис. 5 застойная область обозначена пунктирными
линиями).
Приемлемые решения кинематической задачи обтекания идеальной средой твердых тел могут быть получены методом последовательных итераций (обязательным условием является получение решений только с положительными давлениями) при выделении в общем потоке нескольких безвихревых областей, разделенных границами со скачком тангенциальной составляющей скорости. В пределах этих безвихревых областей могут быть получены однозначные аналитические решения [1, 2], хотя общее движение является вихревым.
Поверхности тангенциального разрыва,
представляющие собой тонкий вихревой слой, – неустойчивы [1, 2]. Распадаясь на
отдельные вихри, поверхности разрыва быстро «заполняют» застойную зону
вихревыми движениями. Многочисленные наблюдения подтверждали наличие такой
картины явления и привели к созданию модели вихревых дорожек Кармана [2].
Модели обтекания твердых тел с
вихреобразованием позволяют рассчитать гидродинамические силы, действующие со
стороны движущейся идеальной среды на твердое тело произвольной формы. При
обтекании твердых тел, несимметричных относительно вектора скорости потока «U∞»,
вектор силы взаимодействия идеальной среды с твердым телом, в общем случае, не
совпадает по направлению с вектором скорости потока.
Обычно эти силы выражают через их ортогональные проекции [1, 2] :
F = Xa ∙ i + Ya ∙
j + Za ∙ k
Каждая из проекций носит определенное наименование: Xa – сила лобового сопротивления – совпадает по направлению с вектором скорости потока; Ya – подъемная сила; Za – боковая сила.
Для образования подъемной или боковой силы
при движении любых несимметричных (относительно вектора скорости) твердых тел в
идеальной среде – в модели струйных течений Кирхгофа-Гельмгольца не нужны
«условия Кутта», не нужны «закругленная передняя кромка и острая задняя кромка»
и не нужен сам по себе возникающий из ниоткуда «прикрепленный вихрь» с
бесконечными размерами.
Появление вихрей в модели
Кирхгофа-Гельмгольца при струйном обтекании твердого тела (т. е. ротор вектора
скорости в областях тангенциального разрыва отличен от нуля) или появление
вихревых дорожек в модели Кармана указывают на изменение общей кинетической
энергии в потоке. В соответствии с законом сохранения энергии – это возможно
только при наличии внешнего источника энергии, который постоянно совершает
работу по преодолению силы сопротивления. Энергия этого источника преобразуется
в дополнительную кинетическую энергию вихрей, которые уносятся потоком на
бесконечность (для идеальной среды) или диссипируют на конечном расстоянии
позади твердого тела (для реальных вязких сред) [1, 2].
В соответствии с моделью
Кирхгофа-Гельмгольца энергия сжигаемого в моторе самолета топлива расходуется
на преодоление силы лобового сопротивления (и на образование вихрей позади
крыла). Возникающая при этом вертикальная подъемная сила совершает работу по
преодолению силы гравитации для подъема самолета (при этом подъемная сила
больше силы гравитации) или полету на постоянной высоте (при этом подъемная
сила равна силе гравитации). Отдельно без силы лобового сопротивления только
одна подъемная сила – возникнуть не может – это противоречит закону сохранения
энергии.
С использованием модели
Кирхгофа-Гельмгольца можно рассчитать профиль крыла с наилучшим качеством, т.е.
максимальным отношением величины подъемной силы к величине силы лобового
сопротивления, – и тем самым обеспечить минимальный расход топлива самолета во
время полета.
Интересная историческая справка: модель
струйных течений Кирхгофа-Гельмгольца была известна задолго до появления модели
Жуковского-Чаплыгина-Кутта с «присоединенным вихрем». Жуковский, Чаплыгин и
Кутта знали (или могли знать) эту модель. Но решили пойти своим путем, который
в конечном итоге привел их к абсурдным решениям, противоречащим закону
сохранения энергии.
Выводы:
- Известная модель с циркуляцией вектора скорости в
постулате Жуковского-Чаплыгина-Кутта противоречит закону сохранения энергии.
- Если вокруг профиля крыла сама по себе, из ничего
возникает отличная от нуля циркуляция вектора скорости (так называемый
«присоединенный вихрь») то этот вихрь или смерч имеет глобальные размеры, а
направление и величину этого бесконечного вихря можно менять только изменением
геометрического параметра крыла (угла атаки), и какие-либо источники энергии
для этой модели не нужны.
- Для расчета формы профиля крыла «летательных аппаратов
тяжелее воздуха» теорема Жуковского-Кутта не годится. В этой модели величина
силы лобового сопротивления всегда равна нулю, а коэффициент качества всегда
равен бесконечности для любой формы профиля крыла.
- И все-таки хоть какая-то польза от теоремы
Жуковского-Кутта есть, потому что её математическая формула позволяет
рассчитать величину боковой силы для «эффекта Магнуса».
- В большинстве реально встречающихся на практике
случаев применить модель Жуковского-Чаплыгина-Кутта нельзя из-за появления
отрицательных давлений в потоке за передней кромкой твердого тела. Поэтому
единственным разумным методом решения всех практических задач – является использование
моделей, не создающих отрицательные давления в потоке идеальной среды.
- Модели обтекания твердых тел с вихреобразованием –
модель струйных течений Кирхгофа-Гельмгольца, модель вихревых дорожек Кармана и
др. – не создают отрицательные давления в потоке идеальной среды и позволяют
рассчитать гидродинамические силы, действующие со стороны движущейся идеальной
среды на твердое тело произвольной формы.
- Для образования подъемной или боковой силы при
движении любых несимметричных (относительно вектора скорости) твердых тел в
идеальной среде – в модели струйных течений Кирхгофа-Гельмгольца не нужны
«условия Кутта», не нужны «закругленная передняя кромка и острая задняя кромка»
и не нужен сам по себе возникающий из ниоткуда «прикрепленный вихрь» с
бесконечными размерами.
- Появление вихрей позади твердого тела в модели
Кирхгофа-Гельмгольца или модели Кармана указывает на изменение общей
кинетической энергии в потоке. В соответствии с законом сохранения энергии –
это возможно только при наличии внешнего источника энергии, который постоянно
совершает работу по преодолению силы сопротивления. Энергия этого источника
преобразуется в дополнительную кинетическую энергию вихрей, которые уносятся
потоком на бесконечность.
- С использованием модели Кирхгофа-Гельмгольца можно
рассчитать профиль крыла с наилучшим качеством, т.е. максимальным отношением
величины подъемной силы к величине силы лобового сопротивления, – и тем самым
обеспечить минимальный расход топлива самолета во время полета.
Литература
1. Август А. Остановим теоретическую бессмыслицу или парадокс Д'Аламбера – 260 лет спустя // Современный научный вестник. Научно-технический и практический журнал, Руснаучкнига № 6 (62) 2009. С. 5-22. См. также: http://dalamberparadox.narod.ru/
2. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидродинамика. Ч.1./ Под ред. И.А. Кибеля. Издание шестое.- М.: Гос. из-во физ.-мат. лит., 1963.
3. Кюхеман Д. Аэродинамическое проектирование самолетов. Пер. с англ./ Пер. Н.А. Благовещенский, Г.И. Майкапар. – М.: Машиностроение, 1983.