Д. ф.-м. н. Белов В. Т.
КЭИ ГВУЗ КНЭУ им. В. Гетьмана, Украина
ПРОСТОЕ УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
ВВЕДЕНИЕ
В физической литературе
широко распространено мнение, которое в [1] авторами было выражено так: «В
последней (жидкости) взаимодействие между молекулами и свойства этого
взаимодействия (а потому и свойства жидкости) сильно зависят от конкретного
рода жидкости. По этой причине невозможно, как уже указывалось, установить
какие-либо общие формулы, которые бы количественно описывали свойства
жидкости».
С другой стороны в
жидкости взаимодействуют те же самые атомы или молекулы как и в
молекулярно-кинетической теории газов. В жидкости в отличие от реальных газов
потенциальная энергия взаимного притяжения атомов или молекул превуалирует над кинетической энергией теплового движения
этих атомов или молекул. Таким образом, реальные газы, имеющие кинетическую
теплового хаотического движения и потенциальную энергию взаимодействия,
отличаются от атомов или молекул жидкости только количественными пропорциями
кинетической и потенциальной энергии. Используя понятие полной механической
энергии частицы, как суммы потенциальной и кинетической энергий, введенное в
курсе механики [2], можно легко представить функцию от полной энергии атома или
молекулы в разных агрегатных состояниях.
Специфической
особенностью жидкого состояния является наличие у нее поверхности,
ограничивающей жидкость. Наличие у жидкости, ограничивающей ее поверхности,
означает, что тепловое хаотическое движение частиц жидкости имеет финитный характер,
т.е. представляет собой смесь вращательного и колебательного движения. Отметим,
что согласно имеющимся экспериментальным данным, тепловое хаотическое движение
у твердых тел носит только колебательный характер.
Следующей особенностью
жидкого состояния является наличие у сил притяжения быстрого убывания с
расстоянием, которое обычно характеризуется радиусом молекулярного действия,
т.е. тем минимальным расстоянием на котором силами притяжения можно пренебречь.
Среднюю количественную характеристику радиуса молекулярного действия дает
поверхностное натяжение или поверхностная энергия, которые равняются нулю, если
расстояние между молекулами или атомами превышает этот радиус. Это позволяет
использовать поверхностную энергию как среднюю экспериментальную характеристику
данной жидкости, пренебрегая
индивидуальной структурой атома или молекулы, т.е. убрать основные возражения,
высказанные в [1].
Следующим моментом,
облегчающим получение уравнения жидкого состояния, является изотропность
физических свойств жидкости, что приводит к зависимости сил притяжения только от радиуса молекулярного действия.
Так как плотность жидкости не меняется при неизменности ее физических условий,
то силы притяжения всегда уравновешиваются силами отталкивания. Наличие сил
отталкивания приводит к невозможности полного сжатия жидкости и приводит к
тому, что атомы или молекулы имеют собственный объем и в первом приближении
представляют собой твердые сферы. Итак, атомы или молекулы можно представить
следующей идеализированной моделью идеальной жидкости, согласно которой:
1)
атомы и молекулы имеют
форму твердого шара;
2)
между атомами и
молекулами действуют силы притяжения, имеющие сферическую симметрию;
3)
жидкость всегда
отделяется от окружающегося пространства поверхностью, ограничивающей объем
жидкости.
Рассмотрим теперь как
используя эти в общем-то хорошо известные сведения получить уравнение состояния
идеальной жидкости.
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ
ЧАСТЬ
Используя предлагаемую
модель идеальной жидкости, рассмотрим как на основе имеющихся экспериментальных
фактов получить уравнение состояния идеальной жидкости. Согласно [3] введем
понятие частной термодинамической системы. Частной
термодинамической системой (ЧТС) назовем совокупность материальных частиц
(атомов, молекул и т.д.), имеющих одинаковую массу и одинаковый закон
взаимодействия. Термодинамические параметры ЧТС: объем, собственное давление и
собственную температуру,- можно согласно [3] определить так.
Собственной
температурой θ назовем среднее значение полной механической
энергии Ē, составляющих ЧТС
частиц. Учитывая, что полная средняя механическая энергия Ē может
принимать как положительные так и отрицательные значения. Шкалу собственной температуры θ
в кельвинах можно представить так:
твердое
тело жидкость газ
- θ 0 К + θ 0 К
Q 0
θ
Рис.
1 Шкала собственной температуры θ.
Таким образом, твердое тело и жидкость
представляют собой область отрицательных значений собственной температуры θ,
когда энергия притяжения между частицами, составляющих ЧТС, больше кинетической
энергии этих частиц. Положительные же значения собственной температуры θ соответствуют
газу, когда среднее значение кинетической энергии частиц газа больше средних
значений потенциальной энергии притяжения. Введение собственной температуры θ
ЧТС позволяет единым образом описать наличие сил притяжения в жидкости, твердом
теле и в газе.
Собственное давление 
ЧТС определим как
силу, действующую на элементарную площадку 
нормально к
поверхности S. Так как по правилам действия с векторными величинами при таком
определении собственное давление 
является векторной
величиной, то дадим физическую интерпретацию отрицательного и положительного
давления ЧТС. Согласно математическим правилам положительным является вектор 
, направленный по оси
Х, а отрицательным является
вектор 
, направленный против оси, так как это показано на рис. 2.
- Х 0 -F + F + Х
Рис. 2 Направления вектора 
.
С физической
точки зрения разные направления силы 
или вектора
собственного давления 
можно
интерпретировать так: рассмотрим пружину «а», находящуюся в свободном
состоянии, как это показано на рис. 3а. Если теперь приложить к ней силу 
, растягивающую эту пружину, так как показано на рис. 3б, то
в силу исторических причин эту силу будем считать положительной.
ось
х
///|\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\ «а»
///|\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\ 
«б»
///\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/ -
……...«в»
Рис.3
Физическая интерпретация направления силы 
.
Если же теперь к пружине
приложить силу 
, сжимающую пружину так как показано на рис.3, то эту силу
будем считать отрицательной. Как известно, такая интерпретация полностью
соответствует требованиям математики.
Для определения собственного давления 
ЧТС, рассмотрим
теперь конкретную поверхность S,
отделяющую жидкость от газа. Согласно [4] все поверхности в математике
принято классифицировать на односторонние, двухсторонние гладкие и
кусочно-гладкие двухсторонние поверхности. С точки зрения наглядности
одностороннюю поверхность можно определить как такую поверхность, которую можно
полностью покрасить не пробивая поверхность, например лист Мебиуса [4]. Гладкой
двухсторонней поверхностью для наглядности назовем такую поверхность, которую
можно покрасить полностью, только пробив эту поверхность. И с наглядной точки
зрения и со строго математической точки зрения [4] поверхность S, отделяющая жидкость от газа,
является двухсторонней поверхностью, что и наглядно показано на рис. 4. Согласно [4] к каждой точке
двухсторонней поверхности можно провести четыре направления нормали 
: 
, 
, 
, 
,- показанные для наглядности в разных точках
поверхности S.
жидкость газ
Рис.
4 Двусторонняя поверхность жидкость-газ.
В математике, используя
понятие ориентации поверхности относительно системы пространственных координат
X, Y, Z, вводят понятие ориентации пространства. Согласно [4] будем всегда
предполагать правую ориентацию пространства, когда оси координат располагаются
так, что вращение от оси X к оси
Y кажется происходящим против часовой
стрелки, если на них смотреть из конца положительной оси Z. Отметим, что правая ориентация пространства
обязательно предполагает правую координатную систему. Так как жидкость всегда
представляет замкнутое тело, то у жидкости необходимо выделить внешнюю и
внутреннюю относительно этого замкнутого тела стороны этой поверхности S.
В физике, в отличие от
математики, в силу исторических причин положительным считается направление нормали
, так как давление газа принимается за положительное и это
газовое давление растягивает ограничивающую поверхность S, так как и
сама сила F в рис. 3б растягивает пружинно. Таким образом,
собственное давление 
будет положительным,
т.е. +
. Экспериментально известно, что в жидкости силы притяжения
направлены внутрь жидкости и оживляют внутреннюю сторону поверхности S, уменьшая ее величину.
Таким образом, собственное давление 
в жидкости имеет
отрицательный характер, т.е. -
, что соответствует направлению нормали 
. Итак, со строгой математической точки зрения с учетом
исторических причин собственное давление 
в жидкости будет
отрицательным, а собственное давление 
в газе будет
положительным.
В [3-5] было
установлено, что уравнение состояния вещества является только комбинацией параметров
P, V, Т в первой степени и может быть
записано в виде в обычных обозначениях.
; 
………………………(1)
где: Р – давление газа; V – объем газа; m
– масса, 
- молярная масса, Т –
абсолютная температура; n – число частиц в единице объема; 
- средняя энергия
атома или молекулы.
Для вывода уравнения
состояния жидкости возьмем уравнение 
, которое легко преобразовать в экспериментально определяемые
параметры жидкого состояния. Тогда, используя понятия собственной температуры
θ и собственного давления 
, это уравнение можно записать так:
……………….(2)
где 
- средняя полная
механическая энергия атома или молекулы; 
- собственное
давление.
Найдем число частиц в
единице объема n:
……………….(3)
где 
- плотность единицы объема;
- число Авогадро.
Определим абсолютное значение полной
механической энергии атома или молекулы. Для этого рассмотрим жидкость в
состоянии невесомости. Пусть А -
молекула или атом жидкости на поверхности жидкости. Пусть абсолютное значение
поверхностной энергии равно , тогда
необходимо определить поверхностную энергию одной молекулы или атома. Для этого
найдем площадь одного атома или молекулы и представим их в виде куба. Тогда
объем куба равен: 
и соответственно
площадь одной молекулы или атома равна 
. Окончательно для абсолютного значения поверхностной энергии
одного атома или молекулы имеем 
.
A
L L1
B
Рассмотрим
теперь молекулу В, расположенную внутри
жидкости и разрежем жидкость по линии 
. Тогда, если удалить жидкость выше разреза 
, то молекула или атом жидкости В будет иметь поверхностную
энергию 
и на нее будет
действовать только
сила притяжения жидкости ниже разреза 
. С другой стороны так как молекула В лежит на линии разреза 
, то можно удалить объем жидкости ниже разреза 
, и тогда, учитывая малость радиуса молекулярного действия в
жидкости, действие сил притяжения от объема жидкости выше разреза 
можно записать в виде
. Учитывая закон сохранения
энергии и аддитивность энергии, а также малость радиуса молекулярного действия по сравнению с радиусом
кривизны капли жидкости можно абсолютное значение средней полной механической
энергии атома или молекулы, пренебрегая малыми величинами, получить как сумму
двух поверхностных энергий:
........................(4)
Тогда, простейшее уравнение жидкости в
експериментально определяемых величинах, характеризующих жидкое состояние, полу
чим в виде:
……………(5)
До сих пор неявно принималось, что в
уравнении (1) атом или молекула имеют три степени свободы, однако число степеней
свободы у молекул может быть и больше трех, и кроме того, даже в одноатомных
жидкостях очевидно существуют ассоциации из двух или более атомов, т.е. число
степеней свободы при этом в целом для жидкости становится дробным. Для того,
чтобы учесть этот факт при сравнении
уравнения (5) с имеющимися экспериментальными результатами необходимо в уравнение
(5) вместо коэффициента 4/3 ввести постоянную С, определяемую из эксперимента и
записать (5) в таком виде:
…………………………..(6)
Сравнивая уравнение состояния жидкости (6)
с имеющимися в [5-6] экспериментальными результатами по жидкостям можно
констатировать, что эмпирический закон 
вполне
удовлетворяется в уравнении (6).
Итак, получено простое уравнение состояния
для жидкости в целом удовлетворяющее имеющимся экспериментальным данным.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Полученный важнейший результат в теории
жидкого состояния позволяет решить ряд проблем, стоящих как в качественной
теории жидкости, так и в количественной теории жидкости по выяснению законов
взаимодействия частиц в жидком состоянии. Особенно актуальной является эта задача
для ядерной жидкости, законы взаимодействия частиц которой до сих пор
неизвестны. Появляется возможность, используя пробные законы взаимодействия частиц
и теорему вириала, получить указанные закономерности.
ЛИТЕРАТУРА
1.Ландау Л.Д., Лившиц Е.М., Статистическая физика,
Ч.1, М., Наука, 1976 г., с.584
2.Ландау Л.Д., Лившиц Е.М., Механика, М., Наука, 1973
г., с. 208
3.Белов В.Т., Термодинамика частных термодинамических
систем, г. Саки, Райтипография, 1989 г., с. 48
4.Фихтенгольц Г.М., Курс дифференциального и
интегрального исчисления, Т.3, М., Физматгиз, 1960 г., с. 656
5.Фишер М., Природа критического состояния, М., Мир,
1968 г., с. 222
6. Крокетон , Физика жидкого состояния, М., Мир,1978
г., с. 473