Кабалдин Ю.Г., Серый С.В., Муллер. Н.В., Шатагин Д.А.

ПРИМЕНЕНИЕ ФРАКТАЛЬНОГО И ВАЙВЛЕТ-АНАЛИЗА ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ И ПРОГНОЗИРОВАНИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ПРЦЕССОВ В ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

(Нижегородский государственный технический университет им. Р.А.Алексеева)

Изложен новый подход к моделированию динамических систем на основе качественной теории дифференциальных уравнений и фрактального анализа. В результате предложена новая характеристика, характеризующая её динамическую устойчивость в контексте эволюции – фрактальная размерность. Фрактальная размерность определяет степень самоорганизации динамической системы резания. Другой характеристикой, также характеризующей степень самоорганизации системы является информационная энтропия – Su. Использование вэйвлет-анализа позволило определять эти характеристики в режиме реального времени, т.е. в эволюционном развитии системы. Картина коэффициентов демонстрирует иерархическую структуру анализируемого множества. Каждый этап каскадного процесса, каждое дробление масштаба отмечено на вейвлет - спектре ветвлением, появлением характерной «вилочки» светлыми и темными линиями, отмечающими положения локального максимума, раздваивается, раздваивается на два независимых локальных максимума.. На примере применения вейвлет- преобразования для анализа временных рядов, позволяет выявить и наглядно показать структуру описываемого производственного и социального процесса и дает информацию о характерных особенностях процесса. Масштабно-временная развертка, получающаяся в результате вейвлет-преобразования сигнала, позволяет выявить не только осцилляции с хорошо фиксированным периодом, но и нестационарные осцилляции, локализованные периодичности и т.д.

Энергия коэффициентов вейвлет-преобразования пропорциональна дисперсии анализируемых данных и дает распределение энергии процесса по масштабам. Алгоритм вэйвлет-преобразования имеет фрактальный характер. Идея применения вэйвлетов для многомасштабного анализа заключается в том, что разложение сигнала производится по базису (вэйвлет), образованному сдвигами и разномасштабными копиями функции-прототипа на основе его подобия с анализируемым участком сигнала – то есть вэйвлет-преобразование по своей сути является фрактальным.

Теория фракталов, наряду с качественной теорией динамических систем, является основой нового направления в теории синергетики – нелинейной динамики. Одним из центральных вопросов нелинейной динамики является проблема параметров порядка. Ответ на вопрос о том, какие именно переменные для исследуемой системы будут параметрами порядка и каков алгоритм их смены – важнейший этип при ее моделировании Сценарий проникновения в хаос через последовательности бифуркаций определяется особыми свойствами нелинейных уравнений, что составляет другую важную отличительную черту нелинейной динамики.

Для выявления сути нелинейных явлений, а также и нелинейных уравнений, бифуркационный сценарий приобретает фундаментальное значение. Сама возможность динамического хаоса, сценарии, по которому порядок переходит в хаос, выявили общие универсальные свойства сложных динамических систем и процессов. Конкретный вид перехода к хаосу не является принципиальным. Фундаментальное значение здесь имеет природа границ между областями притяжения – различными зонами притяжения аттракторов.

Центры этих зон притяжения – аттракторы – ведут борьбу за влияние на плоскости (любая начальная точка Х0 в течение процесса либо приходит к тому или другому центру, либо «лежит» на границе области и не может принят определенное значение). С изменением управляющего параметра изменяю6тся как сами области притяжения, так и границы. В случае фрактальной структуры границ областей притяжения соответствующий аттрактор называется странным. Важно здесь иметь в виду, что в любой системе всегда идет борьба, своеобразная конкуренция, между равновесием и бифуркационным, хаотическим неустойчивым поведением. Следовательно, определяющие нелинейные уравнения должны быть записаны как эволюционные уравнения – в релаксационной форме. Из вышеизложенного ясно, что моделирование, воспроизводящее эволюцию динамических систем по законам синергетики, т.е. нелинейной динамики, должно опираться на систему нелинейных уравнений, учитывающих диссипацию. Определяющие уравнения, записанные в релаксационной форме, должны ввести в рассмотрение конкурирующие процессы во временном аспекте.