А.И. Долгарев

СТРУКТУРА КАСАТЕЛЬНОГО РАССЛОЕНИЯ

ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА

Касательное расслоение евклидова пространства изучается в [1]. Ниже подробно рассматривается касательное расслоение . Евклидово пространство, содержащее регулярные кривые, является неоднородным, [2]. С использованием выделенной параметризации евклидовой кривой = устанавливается структура касательного пространства в точке и получено, что неразличимы все слои в . Это свойство выполняется и при произвольной размерности . Результат согласуется с тем, что точка , в которой рассматриваются касательные векторы, не влияет на свойства векторов.

Пусть и многообразия класса с атласами и , . Рассматриваются отображения , заданные на основе указанных атласов. Определены дифференцируемые отображения класса в локальных координатах, см. [1, §§ 1,2]. Считаем, что есть евклидово пространство и есть евклидово векторное пространство евклидова пространства . В выбран репер , т.е. выбрана локальная карта в окрестности точки . Замены координат задаются дифференцируемыми формулами, имеются в виду прямолинейные и криволинейные координаты; функции, заданные в репере дифференцируемы класса . Для изучения свойств дифференцируемых отображений достаточно рассмотреть выбранную локальную карту. Эту карту включаем в атлас , все рассмотрения распространяем на пространства и . Таким образом, в евклидовом пространстве выбран репер , в котором заданы всевозможные дифференцируемые кривые векторными функциями класса . Если кривая обладает особенностями, то особые точки исключаются из рассмотрения, остаются кривые без особенностей. В связи с этим все кривые в окрестности точки считаются регулярными.

В [2] выясняется, что имеется два евклидовых пространства – пространство элементарной геометрии и пространство дифференциальной геометрии. Первое из них однородно, в его движениях всякий ортонормированный репер отображается на всякий другой ортонормированный репер. Второе из указанных евклидовых пространств неоднородно. Возможность дифференцировать функции, задающие регулярные евклидовы кривые, приводит к выделенной параметризации кривых – к заданию кривых в параметризации

= . (1)

Для евклидовых кривых введены галилеевы кривизна и кручение , [3]. Существует плоскость галилеевых кривизн для евклидовой линии (1) , которая при движении точки по кривой движется параллельно сама себе. Плоскости галилеевых кривизн всех евклидовых линий параллельны между собой. Следовательно, евклидово пространство, в котором производится дифференцирование функций, неоднородно. Оно обладает инвариантным 2-мерным направлением, состоящем из плоскостей галилеевых кривизн евклидовых кривых. Это направление инвариантно во всех движениях неоднородного евклидова пространства . Инвариантное 2-мерное направление в имеет своим векторным подпространством = , натянутое на векторы репера, в котором заданы кривые (1). Имеется и инвариантное 1-мерное направление = , пер-пендикулярное направлению . Рассматриваемое пространство далее обозначаем .

Реальное окружающее пространство, обладает плоскостью Эклиптики, в которой движутся планеты Солнечной системы. Геометрия пространства Солнечной системы, считающаяся евклидовой, неоднородна.

1. Касательное пространство

Пусть задана регулярная класса , , евклидова кривая в произвольной параметризации

= (2)

в окрестности точки . Следствием регулярности кривой является существование обратных функций покомпонентных функций в (2); по крайней мере одна из функций , , в окрестности точки кривой изменяется, непрерывна и монотонна, пусть это . Значит, существует функция . От параметризации (2) линии переходим к параметризации (1). Вдоль кривой в окрестности точки определено касательное отображение: , где евклидово векторное пространство евклидова пространства . Перебирая всевозможные кривые, проходящие через точку , получаем касательное пространство в точке . Объединение всех для точек из есть касательное расслоение , [1, c. 23]. Выполняется

1. ЛЕММА. В окрестности всякой точки евклидова пространства через точку проходит плоскость = инвариантного направления = пространства . Во всяком направлении в пространстве проходит хотя бы одна регулярная кривая евклидова пространства.

# Поскольку рассматривается евклидово пространство, содержащее регулярные кривые, то, по [2], евклидово пространство является неоднородным, обладает инвариантным 2-мерным направлением и через каждую точку проходит плоскость этого направления. Согласно теореме 5 из [4], евклидова кривая определяется с точностью до положения вектором галилеевой кривизны. Вектор галилеевой кривизны в каждой точке определяет кривую = как решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений , , . Выполняются условия: , , . Зададим начальные условия: , , , , , . Существует бесконечно много кривых, проходящих через точку и имеющих в точке касательную с вектором . Рассмотрим одну из них, определяемую условиями , , . Тогда , в точке задан вектор , значит, . Далее, . В точке : . Аналогично отыскиваются функции . #

2. ЛЕММА. Касательное пространство не зависит от выбора параметризации кривых.

# Положение касательной прямой не зависит от выбора параметризации кривой. #

Через точку в проходят регулярные кривых двух видов:

(а) плоские кривые, лежащие в плоскости =; эти кривые описываются векторными функциями = ;

(б) кривые, не лежащие в плоскости ; они описываются векторными функциями

= , функция непостоянна и в окрестности точки непрерывна и монотонна. Выполняется

3. ЛЕММА. Касательные векторы регулярных кривых в точке либо принадлежат пространству , состоящему из векторов ; либо не принадлежат указанному инвариантному подпространству; в этом случае они являются векторами вида , . #

2. Строение касательного пространства

Всякая регулярная кривая в окрестности обыкновенной точки описывается в выделенной параметризации функцией (1). Этот факт позволяет точнее описать множество векторов из .

4. ЛЕММА. Различные касательные векторы всех регулярных кривых из плоскости составляют множество ; годографом множества является полуокружность.

# Направление на плоскости можно задать единичным вектором . Векторы и задают одно и то же направление. Годограф функции = , , есть полуокружность плоскости . #

5. ЛЕММА. Различные касательные векторы кривых, не лежащих в плоскости и проходящих через точку , составляют множество == =. Годографом множества является плоскость, описываемая уравнением .

# Всякую регулярную кривую пространства рассматриваем в выделенной параметризации (1). Касательный вектор в точке есть . Рассматривая все кривые, проходящие через и не лежащие в плоскости , имеем множество векторов . У разных касательных векторов пары функций различны. Для кривой в произвольной параметризации (2) выполняется . Множество содержит все векторы вида . Плоскость состоит из всех точек , для которых . #

6. ТЕОРЕМА. Различными векторами касательного пространства являются векторы из объединения : .

# Утверждение следует из рассмотренных лемм. #

Справедлива следующая

7. ТЕОРЕМА. Относительно операций над векторами, подпространство , порожденное множествами векторов и , совпадает с – векторным пространством евклидова пространства .#

8. ЛЕММА. Между множествами и существует взаимно однозначное соответствие.

# Пусть , , тогда , и . Имеем соответствие

, (3)

которое взаимно однозначно. #

9. ЛЕММА. Операции над векторами инвариантны в проектировании параллельно вектору на плоскость =, т.е.

= + = , = =.

На основе леммы 9 на векторах из выполняются операции:

; . (4)

10. ЛЕММА. Относительно операций (4) множество векторов является линейным пространством над : =.

# Проверка показывает, что для операций (4) выполняются все аксиомы линейного пространства. # Здесь через обозначена внешняя операция умножения векторов из на числа из , связанная с внутренней операцией *.

11. ЛЕММА. Линейные пространства = и = изоморфны.

# По лемме 8, имеется взаимно однозначное соответствие (3). По (4), в этом соответствии , . #

3. Касательное расслоение

Во всякой точке евклидова пространства множество попарно различных между собой векторов, касательных к кривым, проходящим через , является объединением . Множество состоит из векторов

, ,

множество состоит из векторов

=,

из которых составлено 2-мерное линейное пространство с операциями (4). Выполняется

12. ТЕОРЕМА. Объединение = совпадает с любым из множеств для всякой точки . #

Утверждение является следствием того, что всякое состоит из одних и тех же множеств векторов и . Согласно лемме 7, = . Поэтому

13. ТЕОРЕМА. Касательное расслоение совпадает со всяким пространством в произвольной точке . #

Расслоение состоит из неразличимых, т.е. идентичных слоев .

Полученный результат соответствует известному положению о том, что свойства векторов не зависят от точки их приложения; их свойства есть свойства элементов линейного пространства. Рассматривая векторы , , точка фиксирована, мы не изменяем свойств векторов, а изучаем свойства множества точек на основе свойств векторов из . В рассматриваемом случае решающее значение имеет структура евклидова пространства: в различных точках локальные свойства евклидова пространства одни и те же; инвариантное 2-мерное направление пространства одно и тоже во всех точках.

4. Касательное пространство ,

Евклидово пространство , обладающее регулярными кривыми, неоднородно, обладает мерным инвариантным направлением и 1-мерным, ортогональным к инвариантным направлением . Через всякую точку пространства проходит регулярная кривая, имеющая заданный вектор своим касательным вектором. Имеются два множества векторов: = и =. Годографом множества векторов является мерная сфера с отождествленными диаметрально противоположными точками. Годографом множества векторов является гиперплоскость пространства . Для любых двух различных точек и из множества вида и множества вида совпадают. Следовательно, множества из и из совпадают.

14. ТЕОРЕМА. Касательное расслоение состоит из одинаковых слоев, т.е. для всякой точки : = . #

Литература

1. Зуланке Р., Вентген П. Дифференциальная геометрия и расслоения. М.: Мир, 1975, 350 с.
2. Долгарев А.И. Различные по Ф. Клену евклидовы геометрии: элементарная и диф-

ференциальная.// Materialy IX Miedzynarodowej naukowi-praktycznej konferencji

“Strategiczne pytania swiatowej nauki – 2013” Volume 28. Matematyka. Fizyka.

Nowoczesneinformacyjne technologie.: Przemysl. Nauka i studia – 2013 str. C. 3 – 8.

3. Долгарев И.А., Долгарев А.И.Галилеевы идеи в курсе евклидовой дифференциальной геометрии.// Вестник Красноярского педуниверситета им. В.П. Астафьева, 2013 № 1(23), Красноярск, 2013, С. 232 – 235.
4. Долгарев А.И. Определяемость евклидовой кривой вектором галилеевой кривизны.// Materialy IX Miedzynarodowej naukowi-praktycznej konferencji “Dinamika naukowych badan – 2013” Volume 12. Matematyka. Fizyka. Nowoczesne informacyjne technologie. Chemia i chemiczne technologie: Przemysl. Nauka i studia – 2013, C. 29 – 37.