К.т.н. Данилова Ю.С.

Поволжский государственный университет сервиса, Россия

Использование коммутирования функций при решении простейших функциональных уравнений

Композицией отображений и называется отображение , которое действует по правилу . Отображения и называются коммутирующимися (перестановочными), если .

По всякому отображению можно построить последовательность отображений посредством следующей реккурсивной процедуры: . Отображение называется итерацией порядка отображения . Любые две итерации одного и того же отображения коммутируют: . Более того, если некоторые отображения и перестановочны, то перестановочны и любые их итерации и [1].

Точка называется неподвижной точкой отображения , если . Если каждая точка области определения некоторого отображения является его неподвижной точкой, то такое отображение называется тождественным и обозначается через .

Если в последовательности итераций встречается тождественное отображение, то такая последовательность итераций оказывается периодической, а отображение называется циклическим.

В связи с введенными общими понятиями множества и отображения могут быть совершенно произвольной природы.

Начиная с этого места под множествами подразумеваются некоторые подмножества R или C, а под отображениями – числовые функции. Вот некоторые конкретные примеры определенных на R коммутирующих функций:

а) и ; б) и .

Отметим, что пресловутые нечетные функции – это в точности те функции, которые коммутируют с линейной функцией . А вот скажем, функции, которые можно представить в виде суммы тождественной и периодической ( с периодом b) функций.

Если в формальном равенстве конкретно фиксировать функцию g, то возникает функциональное уравнение (относительно неизвестноцй функции f ), общее решение которого – это совокупность всех тех функций, что коммутируют с g.

Сразу же укажем на несложный первичный арсенал технических средств для получения результатов в рассматриваемом круге вопросов [2]:

1) метод неопределенных коэффициентов;

2) удачное введение новой неизвестной функции или новой переменной;

3) переход от равенства вида к равенству с итерациями (возможно с последующим предельным переходом).

Рассмотрим детально именно такую задачу в класссе непрерывных на R функций для случая, когда известная функция g является линейной, включив её в следующую несколько более широкую задачу: при заданных найти все непрерывные на R функции, удовлетворяющие тождеству: (1).

Для решения уравнения (1) рассмотрим три случая:1); 2) ; 3) .

Для удобства решения через S обозначим множество всех функций определенных и непрерывных на луче . Через Т – множество всех функций непрерывных и периодических на R , для которых единица является одним из периодов. Через и обозначим совокупности всех тех функций из S и Т соответственно, которые в нуле обращаются в ноль.

Случай 1: . Функциональное уравнение приобретает вид (2).

Если , то замена приводит уравнение (2) к виду и, следовательно, общее решение описывается формулой , где . Если и , то замена приводит уравнение (2) к виду и, следовательно, общее решение описывается формулой , где . Если, наконец, , то замена приводит уравнение (2) к виду . В этом случае , множество М корней уравнения не пусто и пусть . Ясно, что .

Функция является непрерывной, периодической и удовлетворяющей условию . В таком случае общее решение описывается формулой

, где и .

Случай 2: , Функциональное уравнение приобретает вид (3).

Из тождества следует, что для любого . Следовательно, при имеется единственное решение уравнения (3), а при решение может существовать лишь при условии, что . В этом случае замены и приводит уравнение (3) к тождеству . Обозначим через сужение на . Тогда очевидно и так, кстати, утроена всякая чётная непрерывная функция. А всякая чётная целая (аналитическая на всей плоскости С) функция устроена так: , где h – некоторая целая функция. Это получается рассуждением на основе метода неопределенных коэффициентов:

. Итак, в этом случае общее решение описывается формулой , где .

И наконец, если , то посредством замен и уравнение (3) приводится к тождеству . Обозначим через сужение на . Тогда и так, между прочим устроена всякая нечетная непрерывная функция. Таким образом, в этом последнем случае общее решение описывается формулой , где .

Случай 3. .

Замены и приводят уравнение (1) к виду .

В таком случае, . Если , то посредством замены можно перейти от (4) к уравнению , где . При замены и приводят к тождеству , а при замены и приводят к точно такому же тождеству. Таким образом, все свелось к уже разобранному первому случаю. Если теперь обозначить через множество всех тех непрерывных на функций , что удовлетворяет тождеству , то общее решение можно описать формулой

где , если , и , если . Функции из легко выражаются через функции из .

Если наконец, и есть некоторое решение уравнения (4), то обозначив через сужение на , получим

, если и , если .

И наоборот, если некоторая непрерывная функция удовлетворяет тождеству, а непрерывная на функция определена посредством тождества

В самом деле, если , то и ; а если , то и . Таким образом это последний случай сводится к предыдущему.

Отметим в заключении, что картина резко изменится, если искать решения уравнения (1) только среди гладких функций. Картина также существенно изменится если искать решения уравнения (1) среди непрерывных функций определенных на некотором открытом луче.

Библиографический список

1. Зорич В.А. Математический анализ (ч.1, ч.2) . М.: Наука, 1984. – 586 с.

2. Макаров Б.М., Голузина М.Г., Лодкин А.А. Избранные задачи по вещественному анализу. М.: Наука, 1972. – 193 с.