Бондаренко Альона,

студентка 7 курсу факультету фізико-математичної і технологічної освіти

Наук. керівник: О. М. Литвин д.ф-м.н., проф. (БДПУ)

РОЛЬ МІШАНОЇ АПРОКСИМАЦІЇ, ІНТЕРЛІНАЦІЇ ТА ІНТЕРФЛЕТАЦІЇ У ТОМОГРІФІЇ

В останні роки слово томографія об’єднує нові, перспективні напрями отримання та обробки інформації про досліджуваний об’єкт методами рентгенодіагностики та іншими методами, які дозволяють отримувати зображення перетинів об’єкту. В багатьох працях сучасних вчених з томографією пов’язується новий метод обчислювальної діагностики - метод комп’ютерної томографії (КТ) - чисельного відновлення функцій 2-х і більше змінних за відомими їх лінійними інтегралами (вздовж послідовності прямих), або площинними інтегралами (інтегралами по послідовності площин).

Помітне зростання досліджень в області томографії пов’язані з її можливістю "заглянути" всередину об’єкта не руйнуючи його. Така можливість знайшла широке застосування в медицині при діагностиці різних захворювань. Широко відомою томографія стала дякуючи появі та удосконаленню медичних томографів (в першу чергу – рентгенівських - РКТ) та тому, що у багатьох випадках результати, отримані з допомогою КТ, не можуть бути отримані ніякими іншими методами.

Відзначимо, що у розвиток комп’ютерної томографії значний вклад внесли Терещенко С.А.[3], Литвин О.М.[1], Першина Ю.І.[2] та інші.

На даний час існують кілька типів томографів з різними схемами сканування, невеликим часом сканування, що відіграють велику роль в житті суспільства в області діагностики захворювань тощо . Всі вони в своїй основі використовують в тій або іншій формі математичну модель томографа на базі прямого та оберненого перетворень Радона.

В теорії наближення функції однієї та багатьох змінних на даний час отримані результати, що дозволяють будувати оператори наближення функцій із потрібною точністю і такі, що вимагають для цього мінімального числа експериментальних даних.

В теорії функцій багатьох змінних в останні десятиліття ефективно використовується аппарат інтерлінації та інтерфлетації функцій. Оператори інтерлінації функцій на заданій системі прямих мають ті ж сліди, що і наближувана функція. Це означає, що інтеграли від них вздовж вказаної системи прямих (прямих інтерлінації) будуть збігатися із значеннями інтегралів вздовж вказаної системи прямих від наближуваної функції. Тобто можна побудувати на їх основі множину операторів інтерлінації із заданими проекціями (даними Радона). Враховуючи велику точність операторів інтерлінації, з’являється можливість на їх основі досліджувати питання про оптимізацію числа проекцій, необхідних для отримання наближення із заданою точністю.

Зауважимо, що оператори інтерлінації, інтерфлетації та мішаної апроксимації відновлюють функції (можливо, наближено) за відомими їх слідами на даній системі ліній або поверхонь. Тобто, вони надають можливість будувати наближуючі оператори, що використовують інтеграли від відновлюваної функції по вказаних лініях чи поверхнях. Звідси витікає, що інтерлінація, інтерфлетація та мішана апроксимація є математичним апаратом, природно пов'язаним із задачею відновлення характеристик об'єктів за відомими їх проекціями. Тобто, актуальною є задача дослідження можливостей інтерлінації та мішаної апроксимації функцій для розв’язання задачі МРКТ, зокрема ультрамалоракурсної КТ .

Використання математичного моделювання і конструювання нових КТ промислового призначення, зокрема при неруйнівному контролі на митниці дає економічний ефект за рахунок:

1) зменшення числа проекцій, використаних для дослідження внутрішньої структури об’єктів заданих класів;

2) економія затрат при отриманні експериментальних даних;

3) більш точна ідентифікація об’єкту за допомогою 2-х або 3-х рентгенівських знімків у взаємно-перпендикулярних ракурсах.

Соціальний ефект:

- запровадження методів ультрамалоракурсної комп’ютерної томографії може покращити медичне діагностування (за рахунок переносних апаратів) у тих регіонах держави, де нема і не може бути дорогих томографів.

Література

1. Литвин О. М. Інтерлінація функцій та деякі її застосування / О. М. Литвин. – Харків : Основа, 2002. – 545 с.

2. Першина Ю. І. Математичне моделювання в комп’ютерній томографії з використанням інтерфлетації функцій : автореф. к.ф.-м.н. : спец. 01.05.02 «Матем. моделювання і обчислювальні методи» / Ю. І. Першина. – Харків, 2007.

3. Терещенко С. А. Методы вычислительной томографи / С. А. Терещенко. – М. : Физматлит, 2004. – 320 с.