Муратбекова Ильвира Абдразаковна

Казахстан, ЮКО город Туркестан № 21-колледж

Действие групп на множествах.

Определение. Говорят, что группа G действует (слева) на множестве М, если для каждых элементов mÎ M, gÎ G определен элемент mgÎ M, причем g₁(g₂m) = (g₁g₂)m и em = m для всех mÎM, g₁, g₂ Î G; здесь е – единица группы G. [1]

Другими словами, говорят, что группа G действует (слева) на множестве М, если имеется отображение (g, m)®gm декартова произведения G´M в M, причем g₁(g₂m) = (g₁g₂)m и em = m для всех mÎ M, g₁, g₂ Î G; здесь е – единица группы G. При этом множество М называется G-множеством. Множество G(m₀) = {gm₀ ï gÎ G} называется орбитой (G-орбитой) элемента m₀. Мощность ïG(m₀)ï называется длиной орбиты элемента m₀. Очевидно, орбиты любых двух элементов из М либо совпадают, либо не пересекаются, так что множество М разбивается на непересекающиеся орбиты. Если множество М состоит из всего лишь одной орбиты, то М называется однородным множеством, и говорят, что группа G действует транзитивно на этом множестве.[2]

Определение. Пусть m₀ – фиксированный элемент множества М. Множество St(m₀) = {gÎ G ï gm₀ = m₀} стабилизатором в G элемента m₀Î М.

Заметим, что St(m₀) – подгруппа в G, которую ещё называют стационарной подгруппой в G элемента m₀ÎМ. Левые смежные классы gSt(m₀) группы G по стационарной подгруппе St(m₀) находятся во взаимно однозначном соответствии с элементами орбиты G(m₀). В частности, ïG(m₀)ï= (G:St(m₀)). Тогда по теореме Лагранжа следует, что длина любой орбиты относительно конечной группы G является делителем порядка группы.

Теорема. Пусть группа G действует на множестве М. Если два элемента m₀, m₀’Î M принадлежат одной орбите, т.е. m₀’ = gm₀, то St(m₀’) = gSt(m₀)g^-1. Если, далее, G - конечная группа и M = M₁ÈM₂È…ÈM_r - разбиение на конечное число орбит с представителями m₁, m₂, …, m_r , то ïMï = (G:St(m₁)) + (G:St(m₂)) + … + (G:St(m_r)).

Пример (действие сопряжением).[3]

На M = G определяется действие любого элемента gÎG посредством отображения (g, m) ® m^g = gmg^-1 декартова квадрата G´G в G. Это действие называется сопряжением. Орбита элемента mÎ M = G m^G = {gmg^-1 ï gÎ G } называется классом сопряженных элементов или просто сопряженным классом, содержащим m. Для стационарной подгруппы St(m) = {gÎ G ï gmg^-1 = m}, называемой в этом случае централизатором элемента, чаще используется обозначение С(m) (или С_G(m),если нужно выделить группу G).

Действие сопряжением переносится и на подмножества и подгруппы в G. Два подмножества H, T Ì G сопряжены, если T = gHg^-1 при некотором

gÎ G. Пусть H - подгруппа в G. St(H) = {gÎ G ï gHg^-1 = H} = { gÎ G ï gH = Hg } = N(H) – нормализатор подгруппы Н в G.

Имеют место следующее равенство: ïH^Gï= (G:N(H)).

Пусть G конечная группа и m₁^G, …, m_r^G – её сопряженные классы, причем первые q из них – одноэлементные: m_i^G = {m_i}, i = 1, …, q (m₁=e). Тогда центр Z(G) = { m₁, …, m_q} и ïm_i^Gï= (G:C(m_i)); ïGï= ïZ(G)ï+ (G:C(m_q+1))+…+ (G:C(m_r))

Пример (действие сдвигом).

На M = G определяется действие любого элемента gÎG посредством отображения (g, m) ® gm декартова квадрата G´G в G. Это действие называется (левым) сдвигом. Это действие индуцирует действие на подмножествах группы G. Пусть, в частности, Н – подгруппа G и T - множество левых смежных классов gH, gÎ G, т.е. T = {gH ï gÎ G } Тогда отображение (x, gH)®x(gH)=(xg)H декартова квадрата G´T в T определяет действие группы G на T.

Литература:

1. Курош А.Г. Теория групп. – М.: Наука, 1967

2. Кострикин А.И Введение в алгебру.-М.: Наука,1977

3. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. – М.: Наука, 1982