Технические науки/2. Механика

Д.т.н. Боронко О.А., магистрант Лабунский А.В.

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт», Украина

Модифицированный метод покоординатного спуска к определение собственных частот и собственных форм колебаний машиностроительных конструкций

Одной из важнейших задач при расчете колебаний упругих систем является определение собственных частот и соответствующих им собственных форм колебаний. Аналитическое решение данной задачи возможно лишь для ограниченного круга задач. Поэтому возникает необходимость численного определения частот и собственных форм колебаний, при этом приходится ограничивать число разыскиваемых собственных частот и соответствующих им форм колебаний. На практике, как правило, при расчете конструкции или ее элементов, подверженных действию вибрационных нагрузок необходимо знать до 20 первых собственных частот и соответствующих им собственных форм колебаний. В целом проблема их отыскания при решении задач о вынужденных колебаниях реальных механических систем весьма трудоемка и требует больших временных затрат даже при наличии современных ЭВМ. Поэтому задача создания и развития алгоритмов определения собственных частот и соответствующих им собственных форм колебаний упругих систем является актуальной [1].

Машиностроительные конструкции и их конструктивные элементы являются сплошными телами.

Из вариационного принципа для нелинейных свободных колебаний следует, что если характеристики движения изменяются периодически c частотой ω, то существует функционал [2], [3] :

, (1)

точки стационарности которого соответствуют действительным движениям тела, при заданных граничных условиях (например на ).

Если в качестве промежутка времени взять один период , то функционал примет вид:

, (.2)

при условии .

Если сделать замену , то получим . (3)

Если лагранжиан равен L=K – U, где K0 – кинетическая энергия , U0 – потенциальная энергия и K – однородная функция второй степени по , т.е. для любого ω > 0

. (4)

Причем K и U строго выпуклы по совокупности своих аргументов и выполняется условие:

, (5)

где А – постоянная, то используя метод неопределенных множителей Лагранжа придём к функционалу

, (6)

где λ – множитель Лагранжа. Стационарная точка функционала имеет место при . Если , то после интегрирования по времени функционал примет вид:

, (7)

где и - квадратичные формы:

, (8)

, (9)

и являются амплитудами потенциальной и кинетической энергий.

В работе итерационный процесс строится следующим образом:

, где - вектор узловых неизвестных, - единичный вектор в направлении , - шаг. Функционал в k+1 приближении образом записывается в виде:

, (10)

где , а - данная величина может быть истолкована как сила инерции, тогда функционал примет вид

, (11)

в результате функционал примет вид:

(12)

Приращение функционала на k+1 приближении равно

(13)

Величина шага определяется из условия максимальной скорости уменьшения

, (14)

тогда

, (15)

отсюда величина шага определяется следующим соотношением

(16)

Таким образом итерационный процесс упрощается и конечная формула для определения шага имеет туже структуру , что и для статической задачи. Вторая собственная форма колебаний и собственная частота определяются на подпространстве, ортогональном первой собственной форме колебаний. Вектор, ортогональный первой собственной форме колебаний определяется соотношением:

, (17)

где - нормированный собственный вектор, соответствующий первой собственной частоте. Тогда величина шага при переходе в k+ 1 приближении запишется:

, (18)

аналогично определяется шаг при нахождении высших собственных частот и соответствующих им форм колебаний

.(19)

где квадрат круговой l-й собственной частоты, - l-я собственная форма колебаний, - число определяемых собственных частот и соответствующих им собственных форм колебаний. Таким образом решая систему (14) и применяя отношение Релея-Ритца определяется необходимое число собственных частот и соответствующих им собственных форм колебаний.

Для ускорения сходимости итерационного процесса использовался метод неполной релаксации в котором приближения строилось в виде:

(20)

где - параметр релаксации. Оптимальный параметр релаксации выбирается на основании работы [4].

В качестве критерия останова итерационного процесса использовалось следующее условие:

(21)

где - наперед заданная малая постоянная.

Для реализации предложенного метода были разработаны вычислительные программы определения собственных частот и соответствующих им собственных форм колебаний, при продольных, крутильных и изгибных колебаниях стержней при продольных и изгибных колебаниях пластин, при свободных колебаниях пластинчато-оболочечных конструкций, а также при колебаниях трехмерных тел.

Решение тестовых и практических задач показало, что процесс сходится и позволяет с заданной точностью определить собственные частоты и соответствующие им собственные формы колебаний [4].

Следует также отметить, что по сравнению с традиционным подходом минимизации отношения Релея-Ритца методом покоординатного спуска, для нахождения собственных частот и соответствующих форм колебаний, данный подход позволил в несколько раз уменьшить время решения задач, что весьма существенно при решении прикладных задач.

Литература:

1. Ильин В.П. Численные методы решения задач электрофмзики. – М: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985.- 336 с.

2. Марчук Г.И., Кузнецов Ю.А. Итерационные методы и квадратичные функционалы. Новосибирск:Наука, 1972.-205 с.

3. Михлин С.Г. Численная реализация вариационных методов.- М.:Наука, 1968.-432 с.

4. Бабенко А.Е., Бобырь Н.И., Бойко С.Л., Боронко О.А. Применение и развитие метода покоординатного спуска в задачах определения напряженно-деформи-рованного состояния при статических и вибрационных нагрузках К_.: Инрес, 2005.-264с