Технические науки/2. Механика

К.т.н. Гирнис С.Р., д.т.н. Украинец В.Н., Алигожина Д.А., Жакиянова А.Х.

Павлодарский государственный университет, Казахстан

 

РАСПРОСТРАНЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ ВОЛН В ТРАНСПОРТНЫХ ТРУБОПРОВОДАХ

 

Задачи об исследовании динамики трубопроводов под воздействием транспортных нагрузок (подвижных нагрузок, от транспортируемых по ним объектам) встречаются в технике довольно часто. В частности такие вопросы возникают при расчете магистральных нефте- и газопроводов, в которых в результате действия импульсивных периодических возмущений от работающих компрессоров устанавливается периодическая бегущая волна давления, распространяющаяся со скоростью движения звука в потоке. Аналогичные явления имеют место в трубопроводах химических предприятий, гидро- и газовых системах летательных аппаратов и тепловых энергетических установок, а также при проведении взрывопрострелочных работ в геотехнологических скважинах.

Весьма специфические эффекты порождаются в трубах, содержащих детонирующие материалы. Поскольку при инициировании детонации таких материалов могут генерироваться взрывные ударные волны, имеющие различные профили и распространяющиеся с различными скоростями. (достигающими две и более тысяч метров в секунду), важно проанализировать влияние параметров детонационной волны на динамику трубопровода, содержащего ее. При этом, как показано ниже могут достигаться критические значения этих параметров, при которых расчетные величины прогибов трубопровода и возникающие в нем напряжения в рамках линейной теории неограниченно возрастают.

Для решения задачи о распространении бегущих осесимметричных волн упругих деформаций в стенке тонкой трубы в [1] использовалась теория оболочек типа Тимошенко. В работе В.М. Львовского и В.И. Пожуева [2] для докритических скоростей подвижной осесимметричной нормальной нагрузки проведено исследование рамок применимости приближенных теорий оболочек (классической и типа Тимошенко) и установлено, что если отношение толщины оболочки к радиусу ее срединной поверхности меньше 0,05, то в этом случае можно пользоваться классической теорией оболочек, как наиболее простой. Поэтому в настоящей статье подобная [1] неосесимметричная задача для тонкостенных трубопроводов, удовлетворяющих данному критерию, решена на основе классической теории оболочек.

1. Рассмотрим трубопровод в виде тонкой круговой цилиндрической оболочки радиусом R и толщиной h0 в цилиндрической системе координат r, q, z, ось z которой совпадает с осью оболочки.

Поставим задачу о распространении в оболочке свободных неосесимметричных гармонических волн.

Введем фазовую координату h = z – ct, движущуюся со скоростью c. Тогда для описания свободных колебаний оболочки можно воспользоваться классическими уравнениями теории тонких оболочек [3] в форме

            (1)

,

где u0h, u0q, u0r – перемещения точек срединной поверхности оболочки; n0, m0, r0 – соответственно коэффициент Пуассона, модуль сдвига и плотность материала оболочки.

Исследуем движение собственных гармонических волн в оболочке вида

.                 (2)

Подставляя (2) в (1), для n-го члена разложения получим

,

где

Эта система однородных алгебраических относительно u0nh, u0nq, u0nr, уравнений имеет нетривиальное решение, когда определитель матрицы ее коэффициентов равен нулю. Из этого условия следуют дисперсионные уравнения

       (3)

Здесь  .

Решение дисперсионного уравнения (3) c = c(n)(x(n)) определяет скорости движения n-ой моды собственных гармонических волн вида (2) в цилиндрической оболочке. Как видим, уравнение (3) является уравнением шестой степени относительно c. Однако, учитывая, что c входит в него только в квадрате, это уравнение можно привести к кубическому уравнению относительно c2 и найти три зависимости для фазовых скоростей движения  свободных волн ci = c(n)i(x(n)i) (i = 1,2,3).

При n = 0 уравнение (3) перепишется в виде

Последнее уравнение можно представить в форме

                                            (4)

где

Для x ≠ 0 уравнение (4) превращается в тождество, если один из сомножителей (f или f3) равен нулю.

При f3(c3) = 0, находим c3 = cs0 = (µ0/r0)1/2, где cs0 – скорость распространения поперечных волн. Так как c3 не зависит от x, то все гармонические волны данной поляризации распространяются с одной и той же скоростью cs0 и явление дисперсии (расплывание профиля негармонической волны) отсутствует.

Предположим, что цилиндрическую оболочку можно рассматривать как упругий стержень для продольных гармонических волн лишь в случае, когда геометрические размеры сечения оболочки малы по сравнению с длиной волны, и поэтому параметры сечения можно усреднить. Такое предположение выполняется при x ® 0. Тогда в сомножителе f(c1, c2) можно положить x = 0.

В этом случае, имеем

откуда находим значение функции c1 = c(0)1(x(0)1) при x ® 0

 –

скорость продольной волны в стержне.

Рассмотрим случай распространения в оболочке волн с учётом её тонкостенности. Тогда длина волны должна быть малой, а волновое число x – большим. Приведём f к виду

Приравнивая полученное выражение к нулю и сокращая его на , при x ® ¥ получим

откуда находим асимптоту функции c2 = c(0)2(x(0)2) при x ® ¥

 –

известную из теории пластин формулу для продольной волны

Аналогично можно показать, что при n ¹ 0 и x ® ¥ функции c2 = c(n)2(x(n)2), c3 = c(n)3(x(n)3) имеют соответственно асимптоты c2 = c2* и c3 = c3*= cs0 = (µ0/r0)1/2.

2. На рис. 1 приведены рассчитанные численно дисперсионные диаграммы для бетонного трубопровода. Параметры трубопровода: R = 1 м, h0 = 0,02 м, n0 = 0,2, m0 = 1,21×1010Па, r0 = 2,5×103кг/м3; скорости распространения поперечных и продольных волн в бетоне – cs0 = 2200 м/с, cp0 = 3593 м/с.

Каждому значению n соответствуют три диаграммы, описываемые функциями ci = c(n)i(x(n)i) (i = 1,2,3).

При n = 0 на рис. 1, а показана характерная для этого случая прямая горизонтальная линия c3 = cs0 = (µ0/r0)1/2 = 2200 м/с, выше которой проходит кривая c2 = c(0)2(x(0)2) имеющая асимптоты c2 = c2*= 3478,5 м/с и x = 0. Большая часть кривой c1 = c(0)1(x(0)1) расположена ниже прямой c3 = 2200 м/с. Эта кривая имеет минимум c1 = c(0)* = 370 м/с, а также наклонную асимптоту при x ® ¥ и c1 > c(0)* (наличие наклонной асимптоты при указанных условиях характерно для любых n). Кроме того, c1 = c1° = (E0/r0)1/2 = 3408,2 м/с, при x ® 0.

При n ¹ 0 (рис. 1, б – ж) все собственные гармонические волны в трубопроводе являются диспергирующими. Характер изменения дисперсионных диаграмм несколько меняется. Верхняя кривая по-прежнему имеет асимптоты c2 = c2*= 3478,5 м/с и x = 0, средняя кривая – асимптоты x = 0 и c3 = c3*= cs0 = 2200 м/с. Причём, с увеличением |n| максимальная кривизна этих диаграмм уменьшается. При небольших |n| нижняя кривая имеет три экстремума: для |n| = 1 – c¢(1)* = 262 м/с, c¢¢(1)* = 1320 м/с, c(1)* = 370 м/с; для |n| = 2 – c¢(2)* = 330 м/с, c¢¢(2)* = 792 м/с, c(2)* = 370 м/с; для |n| = 3 – c¢(3)* = 350 м/с, c¢¢(3)* = 560 м/с, c(3)* = 370 м/с; для |n| = 5 – c¢(5)* = 363 м/с, c¢¢(5)* = 390 м/с, c(5)* = 370 м/с.

а) n = 0

 

б) |n| = 1

 

в) |n| = 2

 

г) |n| = 3

 

д) |n| = 5

 

е) |n| = 10                                             ж) |n| = 15

 

Рис. 1 – Дисперсионные кривые для бетонного трубопровода

 

Из анализа приведенных данных следует, что при возрастании |n| характер поведения нижней кривой стабилизируется, кривая принимает аналогичный для n = 0 вид с минимальным значением c1 = c(0)* = 370 м/с. Дальнейшее увеличение |n| ведёт к возрастанию c(n)*: c(10)* = 435 м/с, c(15)* = 613 м/с, c(20)* = 808 м/с.

Как показали расчёты, при увеличении жёсткости материала трубопровода и его толщины минимальные значения скоростей c = c(n)* распространения свободных волн в трубопроводе возрастают.

 

Литература

 

1 Гуляев В.И., Луговой П.З., Лысюк Н.А. Распространение гармонических волн в цилиндрической оболочке (Модель С.П. Тимошенко) //Прикл. механика. – Киев, 2003. – Т. 39, № 4. – С.108-116.

2 Пожуев В.И., Львовский В.М. Реакция цилиндрической оболочки в упругой среде на действие подвижной нагрузки //Изв. вузов. Строительство и архитектура. – 1976. – № 2. – С. 61-66.

3 Вольмир А.С. Нелинейная динамика пластин и оболочек. – М.: Наука, 1972. – 432 с.