Воздействия гармонических волн на параллельные трубы с жидкостью

проф. И.И. Сафаров¹, М.Ш. Ахмедов², Б.З. Нуридинов ³

^1,2,3Бухарский инженерно – технологический институт, Узбекистан, г.Бухара, ул.К.Муртазоев, 15.

e-mail: safarov54@mail.ru.; maqsud.axmedov1985@mail.ru. ;

контактный телефон (+99893625-08-15), (+99890612-01-02)

Аннотация. В работе рассматриваются воздействия гармонических волн на параллельные трубы с жидкостью. Получены разрешающие системы дифференциальных уравнений в частных производных на основе метода потенциалов. Проводится анализ численных результатов для параллельно расположенных цилиндрических трубопровод с идеальной жидкостью.

Ключевые слова: гармонические волны на трубе, бесконечная система, точки скольжения, сейсмические волны.

I. Введение. Динамическое напряженно - деформированное состояние протяженного многониточного (двух или трех ниточного) трубопровода при гармоническом (сейсмическое) воздействии в рамках плоской задачи динамической теории упругости рассмотрвается в работах [1,2,3,4]. При этом исследуется стационарная дифракция плоских волн на ряде периодически расположенных полостей, подкрепленных кольцами. Решение поставленной задачи осуществляется методом потенциалов [5,6]. В настоящей работе в отличие от известных учитывается внутренний жидкость трубопровода. Задача расмотриваетция в биполярных координатнах.

II. Постановка задачи. Рассмотрим задачу динамической теории линейной упругости о воздействии гармонических волн на трубы, уложенные в высокой насыпи в две нитки и заполненные идеальной сжимаемой жидкостью. При этом рассмотрим случай, когда волна падает перпендикулярно к оси соединяющей центры труб, и к продольной оси этих труб. Поставленная задача решается в бицилиндрических системах координат, который связана с декартовой следующими соотношениями[1] :

x=(asinx)/(chh-cosx), y=(ashh)/(chh cosx), z=z (1) где: а - половина расстояния между точками h=-¥ и h=¥. Тогда, получим следующее уравнение Гельмгольца в биполярных координатах:

(2)

Решение уравнения (2) в аналитическом виде представляет значительные трудности, которые можно обойти путем нахождения асимптотического решения поставленной задачи для близкой поверхности трубы интересующей нас области. В результате проведенных преобразований получим следующий асимптотический вид уравнения :

(3)

Решение уравнение (3) ищем в виде ряда:

(4)

Подставив (4) в (3) и приравняв коэффициенты при соответствующих гармониках, получим следующее обыкновенное дифференциальное уравнение:

. (5)

Стандартный заменой

, t=exp(±h)

сводим (5) к уравнению Бесселя вида

(6)

которое имеет частное решение в виде цилиндрической функции z(2ake^-h), а решение уравнение Гельмгольца запишется как:

,

. (7)

Теперь поставим краевые условия. Для этого используем условия (7) и замену r=h и q=x. Учитывая полученные соотношения, выведем решение краевой задачи для случая падения на две подземные трубы Р - волны сжатия и S V-волны сдвига перпендикулярно к оси y. Волновые потенциальные волны имеют вид

(8)

Для представления (8) в виде (7) запишем (8) с помощью (1) в биполярных координатах. Затем удержим член ряда (7) и подставив его в (8), получим:

(9)

Разложив второй сомножитель выражения (9) в ряд Фурье (комплексная форма) и после небольших преобразований получим окончательное выражение для потенциала падающей Р - волны:

(10)

где t=2aexp(h) и для потенциала падающей SV-волны. Потенциалы же отраженных от труб волн после применения теоремы сложения и, учитывая периодичность задачи, будут иметь вид:

(13)

где: x=kdcosg,d - расстояние между центрами труб.

Потенциалы преломленных волн в трубах запишутся в виде

(14)

а потенциал скоростей в идеальной форме сжимаемой жидкости

(15)

III. Результаты. В результате получается бесконечная система линейных уравнений, которая решается приближенным методом редукции, при условии, что не выполняется соотношение . Общая характеристика программы предназначена для многониточных труб в насыпи для случая падения сейсмических волн перпендикулярно к оси, проходящей через центры труб. Подставив (11) и (12) в граничных условиях получим окончательные решения задач о падении соответственно Р- и SV - волны на две подземные трубы. Произвольные постоянные A_n, B_n, C_n и др. определяются из системы алгебраических уравнений с комплексными коэффициентами [C]{q}={r}, где С - определитель (12х12) - порядка, элементы которого, являются функцией Бесселя и Ханкеля 1-го 2-го рода n-го порядка. q - вектор столбец неизвестных величин, r - вектор правой части. Система алгебраических уравнений с комплексными коэффициентами решается методом Гаусса с выделением главного элемента. Вводимая информация содержит минимально необходимые данные: упругие характеристики (Е и n) грунта насыпи и труб; плотность грунта, трубы и жидкости ее заполняющей; внутренний и внешний радиусы труб; преобладающий период колебаний частиц грунта; координаты точки, в которой ищется НДС; коэффициент сейсмичности. С помощью специальной метки можно рассчитывать как трубы, заполненные идеальной сжимаемой жидкостью, так и пустые. Вычисление цилиндрических функций Бесселя и Ханкеля производится по известным формулам. Решение системы линейных уравнений осуществляется методом Гаусса с выделением главного члена.

Влияние расстояния между трубами. В табл. 1 приведены значения коэффициента максимального радиального давления грунта на трубы при различном расстоянии в свету d между ними в случае падения Р - волны.

Таблица 1

Значение коэффициента динамической концентрации при различных расстояниях между трубами для случая падения Р – волны

D/d	0,5	1,0	2,0	4,0
hmax	1,68	1,76	1,61	1,60

При этом принималось волновое число Р - волны a_r=1,0: внутренний и наружный радиус труб R₀=0,8 m и R=1,0 m: преобладающий период колебаний частиц грунта Т=0,2 сек. Характеристики грунта насыпи: постоянные Ламе l₁=8,9-МПа; m₁=4,34МПа; плотность r₁=1,74Кн сек²/м⁴. Характеристики материала трубы l₂=8690МПа; m₂=12930МПа; r₂=2,55Кн сек²/м⁴. Из табл.1 следует, что сначала при увеличении расстояния между трубами 0,5£d/D£1,0 коэффициент h_max немного возрастает на 5%, а при дальнейшем увеличении d/D>1,0 убывает более резко на 10%. При d/D>2,0 значение h_max стабилизируется, т.е. практически не меняется, при l£4,0 близко к значению h_max для одиночной трубы согласно расчетам.

Следовательно, взаимное влияние железобетонных труб многониточной укладки имеет место при расстоянии в свету между ними d£4,0D и приводит к увеличению максимального динамического давления грунта на них по сравнению с одиночной трубой. Этот эффект увеличения коэффициента h_max связан с наложением волн, отраженных несколькими поверхностями многониточных труб. При этом немонотонное возрастание коэффициента h_max с уменьшением расстояния между трубами d/D связано по нашему мнению с явлением интерференции наложенных после отражения волн. Это явление чрезвычайно важно для практики проектирования сейсмических подземных многониточных трубопроводов, т.к. позволяет подобрать оптимальное расстояние между трубами, при котором динамическое давление при сейсмическом воздействии минимально. Например , в табл.1 таким расстоянием является d=0,5D. Известно отметить для сравнения, что в случае статического воздействия наблюдается обратная картина: давление грунта на многониточные трубы меньше, чем на одиночную.

Помимо вышесказанного, при анализе влияния расстояния между трубами на их НДС необходимо учитывать соотношение (14), (так называемые “точки скольжения”), при котором наблюдается значительное увеличение динамических напряжений в окрестности трубы - резонанс. Это явление известно из оптики под названием аномалия Вуда является особенностью многониточного трубопровода и не может возникнуть в трубопроводе, уложенном в одну нитку. С точки зрения практики проектирования необходимо знать, на каком расстоянии можно укладывать трубы, чтобы опасное явление резонансе не возникало. Ответ на этот вопрос дает соотношение (14). Проведем анализ этого соотношения для случая воздействия Р - и SV - сейсмических волн на подземный трубопровод. В табл. 2 представлен зависимость максимального расстояния в свету между центрами труб d_max, при котором не возникает резонанс, от угла падения сейсмических волн g.

Таблица 2

Зависимость расстояния D_max от угла падения g.

g. Град	0	30	45	60	70	80	90
Dmax,M	5,0	5,36	5,86	6,66	7,45	8,52	10,0

Табл.2 следует, что чем меньше угол падения сейсмической волны на трубопровод, тем ближе друг другу необходимо укладывать трубы. Таким образом, появление резонанса в многониточных трубах можно избежать выбором соответствующего расстояния между ними и, тем самым, обеспечить сейсмостойкость трубопровода. Влияние вида сейсмического воздействия (Р-, SV-или SH-волна). В табл.4.3 приведены значения h_max максимального радиального давления грунта на трубы в случае падения P- и SV - сейсмической волны при различных расстояниях d в свету между трубами. При этом принималось b_r=2.

Анализ данных табл. 3 показывает, что при d/D<4,0 значения коэффициента h_max для P-и SV-волны находится как бы в противофазе. При l/D=1,0 максимальное сейсмическое воздействие P-волны на 27% выше, чем у SV – волны. А при d/D=2,0 на 7% ниже чем у SV – волны, а при d/D=4,0 опять выше, но уже всего лишь на 1%. При этом с увеличением расстояния между трубами разница в этих воздействиях уменьшается и при d/D=4,0 практически пропадает вовсе. Кроме того, заметим, что при воздействии SV - волны значения h_max при различных расстояниях между трубами имеет в 2,5 раза больший разброс (до 25%), чем при воздействии Р - волны (до 10%). Таким образом, явление “местного резонанса” проявляется более сильно для сейсмического воздействия в виде SV- волны.

Таблица 3

Значение коэффициента h_max при сейсмических воздействиях в виде Р - и SV - волн на различных расстояниях d между трубами

d/D	hmax
	P – волна	SV - волна
1,0	1,76	1,29
2,0	1,61	1,72
4,0	1,60	1,51

Влияние жидкости, заполняющей трубы. В табл.4 приведен значения коэффициента h_max в случае падения Р - волны на пустые и заполненные водой трубы при различных расстояниях d в свету между трубами. Плотность жидкости принималась равной r₃=0,102Кн сек²/м⁴.

Таблица 4

Значение коэффициента h_max для случая падения Р - волны на пустые и заполненные водой трубы

d/D	hmax
	P - волна	SV - волна
1,0	1,76	1,89
2,0	1,61	1,78
4,0	1,60	1,90

Табл.4 следует, что чем наличие воды в трубах увеличивает сейсмические воздействия на них по сравнению с пустыми трубами. Очевидно, это связано с увеличением массы трубопровода. Максимальное динамическое давление грунта на трубы усиливается. Например: при d/D=1,0 разница в значениях коэффициента d/D=2,0-10%, при d/D=4,0-19%.

Кроме того, заметим, что разброс значений коэффициента h_max при различных расстояниях d у труб, заполненных водой меньше (7%), чем у пустых труб (10%).

Влияние длины падающей сейсмической волны. В табл.4 представлены значения коэффициента h_max различных длин l₀/l₀-2p/a, р - волны, падающей на пустые трубы, расположенные на расстоянии l=1,0D друг от друга.

Таблица 5

Значения коэффициента h_max для различных длин l₀ P - волны.

l0/D	3,0	5,0	10,0
hmax	1,76	1,52	1,20

Из табл. .5 следует, что чем больше длина падающей сейсмической волны, т.е. чем плотнее грунт насыпи, тем меньше коэффициент h_max. Для справки отметим, что соотношение l₀/D=5,0 – не насыпным песчаным, супесчаным и суглинистым грунтам; l₀/D=10,0 - глинистым грунтам.

Таким образом, вид грунта, а особенно его плотность оказывает существенное влияние на его динамическое давление на трубы при сейсмическом воздействии.

Отсюда следует, что при возведении насыпи над трубами необходимо тщательно уплотнять насыпной грунт. Интересно отметить, что хорошее уплотнение грунта позволяет снизить и его статическое давление на трубы. Кроме этого, расчеты показывают, что при l₀>10,0D динамическая задача сводится к квазистатической, что существенно упрощает ее решение. Отсюда следует важный вывод о том, что квазистатический подход неприменим к расчету на сейсмическое воздействие труб под насыпями.

Влияние толщины стенки трубы и класса бетона. В табл.6 приведены значения коэффициента h_max для различных толщина t стенки железобетонной трубы в случае падения Р - волны на пустые многониточные трубы, уложенные многониточные трубы, уложенные на расстоянии d=0,5.

Таблица 6

Значение коэффициента h_max для различных толщина стенки трубы t

d/D	0,08	0,1	0,15	0,2
hmax	1,60	1,66	1,66	1,68

Табл. 6 следует, что диапазон толщина стенки, который имеют выпускаемые отечественной промышленностью железобетонные трубы, практически не влияет на динамическое давление грунта не эти трубы. Это, по всей видимости, связано с тем фактом, что сейсмическая волна не проходит внутрь железобетонной трубы в силу достаточной жесткости трубы. Аналогичный вывод, имеющий те же причины можно получить из табл.7, в которой приведены значения h_max для различных классов бетона, применяемых для изготовления труб, при толщине стенки t=0,1D.

Таблица 7

Значение коэффициента h_max для различных классов бетона

Класс бетона	В20	В30	В40	В50
hmax	1,68	1,68	1,67	1,68

IV. Выводы.1.При сейсмическом воздействии взаимное влияние железобетонных труб многониточной укладки имеет место при расстоянии в свету между ними d>4,0D и приводит к увеличению максимального динамического давления грунта на них по сравнению с одиночной трубой (явление местного резонанса) на 5-10%.

2.Появление резонанса в многониточных трубах можно избежать, если выбирать расстояние между ними некратным длине падающей сейсмической волны. Это явление резонанса является особенностью многониточного трубопровода и не может возникнуть в трубопроводе, уложенном в одну нитку.

3.Явление местного резонанса проявляется более сильно для сейсмического воздействия в виде SV - волны, чем Р - волны.

4.Наличие воды в трубах увеличивает сейсмическое воздействие на них на 10-20%.

5.Чем плотнее грунт насыпи, тем меньше сейсмическое воздействие на подземные трубы. При l>10D динамическая задача сводится к квазистатической .

6.Изменение толщины стенки и класса бетона практически не влияет на динамическое давление грунта на железобетонные трубы при сейсмическом воздействии.

ЛИТЕРАТУРА

1. Авлиякулов Н.Н., Сафаров И.И. Современные задачи статики и динамики подземных трубопроводов. Ташкент, Fan va texnologiya. 2007. 306 с.

2. Сафаров И.И. Колебания и волны в диссипативно недородных

средах и конструкциях . Ташкент. ФАН, 1992.-250с

3. Рашидов Т.Р., Сафаров И.И. и др. О двух основных методах изучения сейсмонапряженного состояния подземных сооружений при действии сейсмических волн. Ташкент: ДАН. № 6, 1989. С. 13–17.

4. Сафаров И.И. Авлиякулов Н.Н. Методы повышения сейсмостойкости подземных пластмассовых трубопроводов // Узбекский журнал нефти и газа, 2005, №4. С. 42–44.

5. Болотин В.В. Колебания и устойчивость упругой цилиндрической

оболочки в потоке сжимаемой жидкости. Инж. сб., 1956, т. 24. С. 331.

6. Бозоров М.Б., Сафаров И.И., Шокин Ю.И. Численное моделирование колебаний диссипативно однородных и неоднородных механических систем. Новосибирск: Изд. СО РАН. 1996.189 с.