К.ф.-м. н. Габасова О.Р.

Белорусский национальный технический университет

Оптимизация линейной гибридной системы в классе дискретных управляющих воздействий

1. В классе дискретных управляющих воздействий () рассмотрим задачу оптимизации линейной гибридной системы [1]

, (1)

(2)

. (3)

Здесь – состояние непрерывной части системы в момент времени , – состояние дискретной части системы; – состояние гибридной системы, – значения управляющих воздействий в момент .

Под траекторией системы (2), соответствующей управляющим воздействиям , будем понимать единственную пару из непрерывной функции , и дискретной с периодом квантования в прямом времени функции , которые удовлетворяют уравнениям (2).

Управляющие воздействия назовем программой гибридной системы, если на соответствующей им траектории системы (2) выполняются ограничения (3). Программа называется оптимальной, если на ней критерий качества (1) достигает максимального значения: , где максимум вычисляется по всем программам. Суботпимальную (-оптимальную) программу определим неравенством

2. В [1] доказано, что состояние гибридной системы (2) в момент вычисляется по формуле Коши

(4)

,

где функция , дифференцируема по , функции , дискретны в обратном времени с периодом квантования − компоненты фундаментальной матрицы решений гибридной системы (2), удовлетворяющие уравнениям

(5)

(6)

Подставив выражения (4) в (1) – (3), получим задачу линейного программирования, эквивалентную исходной задаче

,

, , (7)

где ;;, выражаются через и исходные параметры задачи.

3. Пусть ; , , , − произвольные множества; ; .

Определение 1. Множество называется опорой задачи (1) – (3), если не вырождена матрица , т.е. .

Следуя [2], подсчитаем вектор потенциалов : , где

Определение 2. Совокупность с компонентами

, называется копрограммой задачи (1) – (3), сопровождающей опору .

Можно показать [1], что ;

.

Введём функции

,

,. (8)

Из (5), (6) получаем соотношения

; (9)

Следовательно, функции (8) являются решением сопряженной системы (9)

с начальными условиями

, (10)

Определение 3. Котраекторией, сопровождающей опору , назовём пару (), состоящую из непрерывной функции и дискретной в обратном времени с периодом квантования функции , которые удовлетворяют сопряженной системе (9) с начальными условиями (10).

Следовательно,

.

Принцип ε-максимума. При любом ε ≥ 0 для ε-оптимальности программы необходимо и достаточно существование такой опоры , при которой на сопровождающей ее котраектории выполняются условия квазимаксимума:

;

; (11)

.

Доказательство основано на формуле приращения критерия качества и проводится аналогично доказательству соответствующего результата для задачи линейного программирования [2]. При из (11) следует

Принцип максимума. Для оптимальности программы необходимо и достаточно существование такой опоры , при которой на сопровождающей ее котраектории выполняются условия максимума:

;

.

Литература

1. Габасова О.Р. Оптимизация линейных гибридных систем управления / О.Р. Габасова // Вестник БНТУ. – 2007. – № 2. – С. 71 – 75.

2. Габасов Р., Кириллова Ф.М., Тятюшкин А.И. Конструктивные методы оптимизации. Ч.1. Линейные задачи. Мн.: Университетское, 1983. 214 с.