Математика/4.Прикладная математика или Экология/4.Промышленная экология

д.т.н., проф. Оразбаев Б.Б., доцент Коданова Ш.К.

Атырауский институт нефти и газа, Республика Казахстан

Задачи оптимизации природоохранных мероприятий в нечеткой среде и методы их решения

При разработке и оптимизации природоохранных мероприятий часто возникают проблемы многокритериальности эколого-экономического характера и нечеткости исходной информации. В этих случаях при формализации и решении задач оптимизации основными источниками информации станет человек (специалист-эксперт, ЛПР, эколог, экономист) т.е. его знания, опыт, интуиция и суждения, которые выражаются качественной информацией, т.е. словесно. Таким образом, в этих случаях приходиться задачу оптимизации природоохранных мероприятий в виде многокритериальных задач нечеткой оптимизации, которые решаются на основе математических моделей.

Рассмотрим подход к формализации и постановки задач оптимизации в условиях рассмотренных проблем – многокритериальности и неопределенности, вызванной нечеткостью доступной информации. Конкретизируем формализацию и постановку задач оптимизации на основе математических моделей на примере поиска оптимального решения по природоохранным мероприятиям.

Пусть f(x) = f₁(x),…,f_m(x) вектор критериев, оценивающий качество природоохранных мероприятий, т.е., экономическую эффективность и экологическую безопасность проведения мероприятий. например: f₁(x), f₂(x), f₃(x) – соответственно, стоимость выполнения работ по ликвидации разливов нефтепродуктов; время, время затраченное теплоходом при сборе нефти на пятне; производительность (площадь сбора нефти, нефтепродуктов в течение заданного времени) теплохода; f₄(x), f₅(x),…, f_m(x) - локальные критерии оценок экологической безопасности, объем разлива, характеристики и свойства нефти, степень и характер влияния разлива на воду и биосистему и другие факторы, влияющие на распространения нефтяного пятна и т.д.

Каждый из m критериев зависит от вектора n параметров (данные и характеристик средств сбора нефти, внешних факторов и др.) x = (x₁,…,x_n), например: число нефтесборщиков; скорость средств сбора нефти и нефтепродуктов; расстояние от места базирования теплоходов до нефтяного пятна; директивное время решения задачи и т.д. Эту зависимость описывают модели, например на основе зависимостей приведенных выше. На практике всегда имеются различные ограничения (экономические, технологические, экологические), которые можно описать некоторыми функциями – ограничениями j_q³b_q, q=. Следует отметить, что некоторые из рассмотренных локальных критериев и ограничений сводятся к качественным ограничениям вида не более или не менее чем b_q (j_qb_q). Регулируемые параметры также имеют свои интервалы изменения: x_jÎW = [x_j^min, x_j^max], x_j^min, x_j^max – нижний и верхний пределы изменения параметра x_j. Эти ограничения могут быть нечеткими ().

Требуется выбрать оптимальное решение, обеспечивающее экстремальное значение вектора критериев при выполнении заданных ограничений и нечеткости исходных данных, а также учитывающее предпочтения ЛПР.

Формализованную задачу в условиях многокритериальности и нечеткости можно записать в виде следующей задачи нечеткой оптимизации:

i= (1) Х = { xÎW, j_q(x) b_q, q=} (2)

Решением данной задачи является значение вектора параметров x^*=(x₁^*,…,x_n^*), обеспечивающее такие значения локальных критериев, которые удовлетворяют ЛПР.

В известных методах решения нечетких задач, в основном, рассматриваются однокритериальные случаи, нет гибкости в учете предпочтений ЛПР [1]. При этом, как правило, нечеткая задача на этапе постановки заменяется эквивалентной детерминированной, что приведет к потере основной части собранной или доступной нечеткой информации.

Во многих случаях качественные факторы (нечеткие высказывания и суждения) являются основными и привычными для человека. Преобразование нечеткого описания в количественное не всегда удается или оказывается нецелесообразным. В связи с этим, в данной работе предложен наиболее перспективный подход, основанный на разработке методов оптимизации, приспособленных к качественным факторам, к человеческим процедурам принятия решений, которые ставятся и решаются в нечеткой среде, не преобразуя их к детерминированным задачам, т.е не теряя доступной информации нечеткого характера.

Таким образом, сведем задачу (1)-(2) к многокритериальной задаче оптимизации с учетом качественного характера исходной информации.

Пусть m₀(x) = (m₀¹(x),…, m₀^m(x)) – нормализованный вектор критериев – f_i(x), i=, оценивающий критерии оптимизации природоохранных мероприятий. Допустим, что для каждого нечеткого ограничения j_q(x)b_q, q= построена функция принадлежности его выполнения m_q(x), q=. Известен либо ряд приоритетов для локальных критериев I_k={1,…,m} и ограничений I_r={1,…,L}, либо весовой вектор, отражающий взаимную важность критериев g=(g₁,…,g_m и ограничений b = (b₁,…,b_L).

Тогда, например, на основе идеи методов главного критерия и максимина многокритериальную задачу оптимизации с векторным ограничением с учетом нечеткой исходной информации можно записать в следующей постановке:

(3)

X={x: xÎWarg(m₀ⁱ(x)³m_rⁱ) arg ((b_qm_q(x)), i=,q=} (4)

где - логический знак «и», требующий, чтобы все связываемые им утверждения были истинны, m_rⁱ – граничные значения для локальных критериев m₀ⁱ(х), i=, задаваемые ЛПР. Область определения переменных х и выполнения нечетких ограничений определяется на основе принципа максимина (гарантированного результата).

Меняя m_rⁱ и вектор важности ограничений b=(b₁,…,b_L), получаем семейство решений задачи (3)-(4) - x^*(m_r,b). Выбор наилучшего решения можно осуществлять на основе диалога с ЛПР.

Алгоритм решения полученной задачи многокритериальной оптимизации (3)–(4) состоит из следующих основных шагов [2]:

А л г о р и т м ГК-ММ:

1. Задается p_q, q=- число шагов по каждой q-ой координате и ряд приоритета для локальных критериев I_k={1,…,m} (главный критерий должен иметь приоритет 1);

2. ЛПР вводится значение весового вектора ограничений b=(b₁,…,b_L), учитывающее важность локальных ограничений.

3. ЛПР назначаются граничные значения (ограничения) локальных критериев m_rⁱ, i=.

4. Определяются h_q=1/p_q, q=- величины шагов для изменения координат весового вектора b.

5. Построение набора весовых векторов , N=(p₁+1)(p₂ +1)…(p_L+1), варьированием координат на отрезках [0,1] с шагом h_q.

6. Определяется терм-множества Т(Х,У), описывающие качественные (нечеткие) параметры объекта и процесса.

7. Строятся функции принадлежности выполнения нечетких ограничений m_q(x), q=.

8. Максимизируется главный критерий (3) на множестве Х, определяемом по принципу максимина (4) и находятся решения: x(m_rⁱ,b), m₀¹(x(m_rⁱ,b )),…, m₀^m(x(m_rⁱ,b )); m₁(x(m_rⁱ,b )),…, m_L(x(m_rⁱ,b )), i=.

9. Решение предъявляется ЛПР. Если текущие результаты не удовлетворяют ЛПР, то им назначаются новые значения m_rⁱ, i= и (или) корректируются значения весового вектора ограничений b, осуществляется возврат к пункту 3. Иначе, перейти к пункту 8.

10. Поиск решения прекращается, выводятся результаты окончательного выбора ЛПР: оптимальные значения вектора x^*(m_rⁱ,b); значения локальных критериев m₀¹(x^*(m_rⁱ,b)),…, m₀^m(x^*(m_rⁱ,b)) и степень выполнения ограничений m₁(x^*(m_rⁱ,b)) ,…, m_L(x^*(m_rⁱ,b)).

Используя идеи принципов уступки (для критериев) и идеальной точки (для ограничений) модифицируя их на случай качественного характера исходной информации, многокритериальную задачу нечеткой оптимизации природоохранных мероприятий (1)-(2) можно переписать в виде:

или (5)

X={x: xÎWarg(m_q(x)³min||m(x) – m^u||_D), q=}, (6)

где || × ||_D - используемая метрика D, m(x)=(m₁(x),…,m_L(x)), m^u=(maxm₁(x),…,max m_L(x)) (возможен вариант использования в качестве координат идеальной точки m^u единиц: m^u =(1,…,1)), g=(g₁,…,g_m) - весовой вектор, отражающий взаимную важность локальных критериев. В (5) приведены различные уступки: абсолютной и относительной, можно предложить другие варианты относительной уступки.

Для решения многокритериальной задачи нечеткой оптимизации (5)-(6) в данной работе предложен следующий метод, разработанный на основе модификации компромиссных схем абсолютной (относительной) уступки и идеальной точки:

А л г о р и т м У(А-О)-ИТ:

1. На основе экспертной оценки определить значений весового вектора, оценивающие взаимную важность локальных критериев (целевых функций) g = (g₁,…,g_m), g_i ³ 0, i =, ;

2. Определить вид уступки абсолютной или относительной , или другие варианты относительной уступки;

3. Определяется терм-множества Т(Х,У), описывающие качественные (нечеткие) параметры задачи, природоохранных мероприятий.

4. Строятся функции принадлежности выполнения нечетких ограничений m_q(x), q=.

5. Определяются координаты идеальной точки. В качестве координат этих точек можно использовать максимальные значения функции принадлежности: m^u =(maxm₁(x),…,maxm_L(x) или единицы: m^u =(1,…,1) (если функции принадлежности нормальные).

6. Выбирается вид метрики ||m(x) - m^u||_D, определяющей расстояние решения x^* от идеальной точки - m^u.

7. Решить задачу (5)–(6) и определить решения: текущие значения параметров - x(g, || × ||_D); значения локальных критериев - m₀¹(x(g, || × ||_D)), m₀²(x(g, || × ||_D)),…,m₀^m(^*(g, || × ||_D)) и степень выполнения нечетких ограничений - m₁(x(g, || × ||_D)),…,m_L(x(g, || × ||_D)).

8. Предъявить ЛПР полученное решение. Если текущие результаты не удовлетворяют ЛПР, то им назначаются новые значения весового вектора g, и (или) выбирается новый вид метрики || × ||_D и поиск оптимального решения повторяется, иначе перейти к пункту 9.

9. Процедуру поиска решения прекратить и вывести окончательные результаты: оптимальные значения вектора x^*(g, || × ||_D); значения локальных критериев m₀¹(x^*(g, || × ||_D)),…, m₀^m(x^*(g, || × ||_D)) и степень выполнения нечетких ограничений m₁(x^*(g, || × ||_D)) ,…, m_L(x^*(g, || × ||_D)).

Приведем несколько вариантов использования евклидовой метрики (D=Е):

||m(x) - m^u|| = ,

||m(x) - m^u|| = ,

||m(x) - m^u|| = ,

||m(x) - m^u|| =

Таким образом, на основе модификации принципов оптимальности и их комбинировании получены различные математические различные постановки многокритериальных задач оптимизации природоохранных мероприятий в нечеткой среде и предложены алгоритмы их решения. Алгоритмы получены непосредственным участием автора данной диссертации. Следует отметить, что при решении поставленных задач можно адаптировать и применять алгоритмов предложенных в работах [2,3], которые использованы при решении задач оптимизации и управления технологическими объектами других производств.

Выводы: На основе модификации различных принципов оптимальности и их комбинировании получены новые постановки задач оптимизации природоохранных мероприятий в нечеткой среде и разработаны эффективные методы их решения в виде диалоговых алгоритмов. В приведенных постановках задач и методах их решения реализовалась идея сохранения нечеткости на основе методов компромиссных схем и теорий возможностей.

Литература:

1. Зайченко Ю.Н. Исследование операций: Нечеткая оптимизация. -Киев: Высщая школа. 1991. -278 с.

2. Оразбаев Б.Б., Курмангазиева Л.Т. Постановка задач ПР по управлению блоком каталитического риформинга и разработка алгоритмов их решения на основе качественной информации//Вестник АИНГ. –Атырау, 2008.№ 3, -С.47-55.

3. Оразбаева К.Н. Интенсификация процесса каталитического риформинга математическим моделированием и оптимизацией. Автореф. диссертации на соискание ученой степени кандидата наук. –Атырау: 2007.