К. ф.-м. н. Марзан С.А.
Брестский государственный университет
имени А.С. Пушкина,
Республика Беларусь
Приближенное решение задачи Коши для системы
нелинейных дифференциальных уравнений
с дробными производными Капуто
Обозначим через 
модифицированную
дробную производную, определяемую формулой
, (1)
где 
– дробная производная
Римана-Лиувилля [1] функции 
, заданной на [a;b], комплексного порядка 
(
), Re(
)>0, n=[Re(
)]+1 при 
={1,2,…}, и 
при 
. Если 
, 
(
) и y(x)ÎCn[a;b] –
функция, n раз непрерывно дифференцируемая на [a;b], то при 
производная 
совпадает с обычной
производной, а при 
оператор 
представляется в виде композиции оператора
дробного интегрирования 
[1] и оператора
дифференцирования 
:
. (2)
Конструкция
(2) была введена итальянским механиком Капуто [2], и поэтому выражения (1) и
(2) называют дробными производными Капуто порядка 
.
Работа посвящена применению
модифицированного апрроксимационно-итеративного метода [3] для приближенного
решения задачи Коши для системы нелинейных дифференциальных уравнений с дробными
производными Капуто порядков 
, 
(k=1,2,…,p, 
)
, (3)
с начальными условиями
, 
, (4)
посредством
приближенного решения равносильной ей [4] системы интегральных уравнений
Вольтерра
,
где 
, 
.
Далее
будем использовать стандартные интерполяционные многочлены Лагранжа 
, построенные по узлам
, 
. (5)
Будем
считать, что 
при 
, и определим операторы
(интерполяционные многочлены) 
формулой
.
Здесь
узлы 
и 
определяются по формуле (5), а 
и 
– фундаментальные многочлены Лагранжа по узлам 
и 
соответственно (k=1,2,…,p).
Построим
при помощи итерационного процесса по v функции
вида
, 
, k=1,2,…,p; 
Теорема 1. Функции 
являются алгебраическими многочленами вида
, 
,
где для 
, 
, k=1,2,…,p
,
, 
при 
и 
.
Доказана
теорема существования приближенного решения задачи Коши (3)-(4), получена
оценка точного и приближенного решения.
Список литературы
1. Самко
С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и
некоторые их приложения. – Минск: Наука и техника, 1987. – 687 с.
2. Caputo M. Linear model of dissipation whose
Q is almost frequency independent // Geophis.
J. Astronom. Soc. – 1967. –Vol. 13. – P. 529-539.
3. Дзядык
В.К. Аппроксимационные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений.
– К.: Наук. думка, 1988. – 302 с.
4.
Марзан С.А. Нелинейное дифференциальное уравнение дробного порядка с дробной
производной Капуто в пространстве непрерывных функций // Труды Ин-та мат-ки,
Минск. – 2004. – Т.12, №2. – С. 99-103.