Сельское хозяйство/2. Механизация сельского хозяйства

В.С. Ловейкін д.т.н., професор; Човнюк Ю.В., к.т.н., доцент; Дяченко Л.А.

Національний університет біоресурсів і природокористування України

Аналіз коливань віброплуга в оброблюваному грунті у межах в’язкопружної реологічної

моделі Максвелла

Постановка проблеми

Вібраційній обробці найрізноманітніших за своїми фізико-механічними властивостями середовищ (у т. ч. грунтів) притаманні деякі загальні закономірності. Зокрема, під дією вібрації у середовищах виникають два різновиди руху: 1) загальний рух усього середовища як деякого тіла; 2) відносний рух складових середовища, який дає змогу надавати середовищу нові фізико-механічні властивості – змінювати сили тертя і зчеплення між складовими середовища; іноді (у більш вузькому сенсі) про це говорять, що під дією вібрації середовище набуває властивостей близьких до структурованої рідини.

Це досить легко показати на прикладі [3].

Нехай тіло, яке розміщене на горизонтальному шорсткому столі, необхідно перемістити вподовж стола постійною силою Q. Сила сухого тертя:

, (1)

де – коефіцієнт тертя; – нормальна реакція опори; – сила зчеплення, – перешкоджає переміщенню тіла вподовж столу. При тіло прийде у рух, при воно знаходиться у спокої. Примусимо тіло здійснювати одновимірні гармонічні коливання вподовж столу й оберемо максимальне значення нормальної сили інерції:

. (2)

Слід зазначити, що тіло при довільній, як завгодно малій силі Q буде переміщуватись вподовж столу у напрямку сили Q [4]. Оскільки , де – маса вібратора, – його кругова частота коливань, (прискорення вільного падіння), тоді, змінюючи чи , можна задовольнити умову (2). Нехай далі замість тіла задане середовище, наприклад, суміш, яка складається з твердих часточок і в’язкої рідини. Нехай до часточок суміші (модель оброблюваного віброплугом грунту) прикладені сили:

. (3)

Суміш буде представляти собою систему без тертя. Часточки суміші почнуть нестійкий коливний рух – це і є характерна особливість “структурованої рідини”. Грунт, сипкі матеріали, набуваючи під дією вібрації властивостей близьких до “структурованої рідини”, легко ущільнюються. У “структурованій рідині” більш легко рухається леміш віброплуга при обробці грунту. Сили зчеплення у середовищах – це внутрішньо молекулярні, міжмолекулярні або вандерваальсівські сили (сили Ван-дер-Ваальса). Як ті, так і інші тим менші, чим більша відстань між часточками. Сили тертя – теж міжмолекулярні сили удару елементів структури; вони зменшуються зі зменшенням частоти удару, чого можна досягти збільшенням відстані між часточками. Таким чином, послаблення сил зчеплення й тертя у середовищі (оброблюваному грунті) можна досягти, надаючи часточкам середовища додаткової сили, а, значить, прискорення та руху. Таке прискорення можна надати часточкам (грунту) різними способами: ударом, обертанням, вібрацією чи комбінацією цих способів. При вібраційній обробці грунту віброплугом зменшення сил тертя та зчеплення здійснюється комбінованим способом. Відносний рух складових суміші, що виникає внаслідок вібрації, дає можливість невеликими імпульсами, які прикладені одночасно до величезної маси часточок середовища, зняти сили тертя й зчеплення у оброблювальному грунті, змінити його щільність. Останнє часто неможливо здійснити статичним зусиллям, а якщо і можливо, то з великими витратами енергії.

Враховуючи наведене вище, можна зробити висновок, що віброплуг при обробці грунту застосовується: 1) як додатковий фактор, котрий інтенсифікує процес руйнування структури грунту активною силою шляхом зменшення сил тертя і зчеплення; іншими словами, з вібраційних рухів оброблювального грунту на перший план виходить лише відносний рух (сюди можна віднести різання, занурення у оброблюваний грунт); 2) як основний фактор, за допомогою котрого вирішується поставлена технічна задача; у цьому випадку обидва види вібраційного руху відіграють свою роль (сюди слід віднести транспортування, ущільнення грунту, його перемішування тощо).

Таким чином, подальше вдосконалення методології та методів аналізу коливних рухів віброплуга у оброблюваному грунті є актуальною задачею (особливо, у межах моделі “структурованої рідини”, яка дозволяє врахувати одночасно в’язкі та пружні властивості оброблювального грунту).

Аналіз публікацій по темі дослідження

Модель надто в’язкої рідини (модель Максвелла) детально досліджена у [1, 2]. Автор [3] наводить класифікацію структурованих систем, у яких концентрація дисперсної фази змінюється у значних межах. Якщо концентрація дисперсної фази і активність її поверхні малі, то говорять, що система слабко (мало) структурована, у протилежному випадку – сильно (високо) структурована. У колоїдних системах (це мінімум двофазна система з високо розвинутою поверхнею розділення фаз) у залежності від концентрації та активності дисперсної фази (що представлена окремими дрібними часточками, розподіленими у іншій фазі дисперсного середовища) виділяються підструктури – структуровані рідини та твердоподібні структури. Перші зазвичай представляють собою системи з малою концентрацією дисперсної фази, але з явно вираженою тенденцією до злипання, коагуляції. Всі інші колоїдні системи з коагуляційною структурою в роботі [3] відносять до твердо подібних. (“Структуровані рідини” та твердоподібні структури іноді називають структурованими системами [5, 6]). Вплив віброплуга на оброблюваний грунт можна звести [3] до взаємодії його робочого органу з середовищем. Воно характеризується переміщенням складових цього середовища у вібраційному полі без зміни їх структур, але зі зміною структури грунту в цілому. В цьому випадку в’язкість грунту змінюється від нескінченності до скінченної величини. Основне призначення такого вібраційного впливу – руйнування надмолекулярних зв’язків у структурі середовища, які заважають прояву течії, рухливості, тому такий вплив застосовують до сипких, в’язких та пружно - в’язко - пластичних сумішей. Переміщення грунту у цьому випадку можна подати у вигляді суми двох деформацій:

, (4)

де – загальний рух грунту; – індивідуальний рух часточок грунту. Загальні ( ) деформації можуть бути знайдені з розв’язку відповідної системи рівнянь, що описують рух оброблюваного грунту у його загальному русі. Індивідуальний рух часточки грунту описується звичайними диференціальними рівняннями руху.

Такий підхід реалізований у даному дослідженні.

Мета роботи полягає у обґрунтуванні в’язкопружної моделі Максвелла оброблювального віброплугом грунту, на основі котрої здійснений динамічний аналіз взаємодії робочого органу віброплуга з оброблюваним грунтом і встановлені основні кінематичні та силові характеристики вказаного руху, а також умови можливих вібраційних резонансів.

Виклад основного змісту дослідження

1. Визначальне рівняння для дуже в’язких структурованих рідин. Модель Л.Д. Ландау – Є.М. Ліфшиця [1].

Для типових рідин ( у межах квазірідинної моделі грунт можна вважати таким) рівняння Нав’є–Стокса можна застосовувати до тих пір, поки періоди руху великі у порівнянні з молекулярними часовими характеристиками (або ж з періодом формування коагуляційної структури у структурованих рідинах [3]). Це однак, не відноситься до дуже в’язких рідин. Для таких рідин звичайні гідродинамічні рівняння стають неприйнятними вже при досить значних періодах руху. Існують в’язкі рідини, котрі протягом досить малих проміжків часу ведуть себе, як тверді тіла (наприклад, гліцерин, каніфоль). Аморфні тверді тіла (наприклад, скло) можна розглядати як граничний випадок таких рідин з досить великою в’язкістю.

У даному досліджені прийнята гіпотеза, згідно якої оброблюваний віброплугом грунт розглядається саме як дуже в’язка “структурована рідина”.

Властивості цих рідин можуть бути описані наступним способом (запропонованим Дж. К. Максвеллом), у подальшому називаємо їх тілами Максвелла (ТМ). Протягом малих проміжків часу вони пружно деформуються. Після припинення деформації у них залишаються напруження зсуву, які, однак, затухають з плином часу, тому через досить тривалий проміжок часу ніяких внутрішніх напружень у рідині практично не залишається. Нехай є порядком величини часу, протягом котрого відбувається затухання напружень ( називають іноді максвеллівським часом релаксації). Припустимо, що ТМ знаходиться під впливом деяких змінних зовнішніх сил, що періодично змінюються у часі з частотою (джерелом цих сил є віброплуг). Якщо період зміни сил великий у порівнянні з часом релаксації , тобто , тоді розглядуване ТМ буде вести себе, як звичайна в’язка рідина. Навпаки, при досить великих частотах (коли ) ТМ буде вести себе, як аморфне тверде тіло.

Відповідно таким «проміжним» властивостям розглядуваних ТМ, останні можна характеризувати одночасно коефіцієнтом в’язкості і деяким «модулем зсуву» . Легко отримати співвідношення, яке зв’язує одне з одним порядки величин (динамічної в’язкості), (модуля зсуву) і час релаксації . При впливі періодичних сил з досить малою частотою, коли ТМ веде себе як рідина, тензор напружень визначається звичайним виразом для в’язких напружень у рідині, тобто:

(5)

де – тензор напружень, – тензор деформацій, крапка над символізує диференціювання по часу. (Вважаємо, що , є функціями часу ).

У зворотньому граничному випадку великих частот ТМ веде себе, як тверде тіло, і внутрішні напруження повинні визначатись за формулами теорії пружності, тобто (справа в тому, що весь час мова йде про «деформації чистого зсуву», тому припускаємо, що ). При частотах порядку напруження, які визначаються цими двома виразами, повинні співпадати за порядком величини. Таким чином, маємо:

, (6)

де й – характерні величини деформацій та довжини відповідно.

Отже, останнє співвідношення (6) і є шуканим.

Рівняння руху, яке якісно описує поведінку розглядуваних ТМ подане нижче. Для цього виходимо з найбільш простого припущення про закон затухання внутрішніх напружень (після припинення руху); а саме, будемо вважати, що вони затухають за простим експоненціальним законом, чому відповідає рівняння:

. (7)

З іншої сторони, у твердому тілі було б , і тому

. (8)

Легко бачити, що рівняння:

(9)

призводить до правильних результатів у обох граничних випадках повільних і швидких рухів, а тому може слугувати інтерполяційним рівнянням для проміжних випадків.

Так, для періодичного руху, коли та залежать від часу шляхом введення множника , маємо з (9):

(10)

звідки

. (11)

При ця формула дає , тобто звичайний вираз для твердих тіл, а при :

(12)

тобто звичайний вираз для рідини з в’язкістю .

Домножимо чисельник і знаменник правої частини (11) на множник :

. (13)

Представляючи залежність від у формі:

. (14)

для граничних випадків маємо:

а) (квазі тверде тіло) –

; (15)

б) (в’язка “структурована рідина”) –

. (16)

Отже, вираз (14) дає ті ж граничні результати для й :

а) ;

б) . (17)

Вирази (11) та (14) можна подати в універсальному вигляді, врахувавши в’язкі та пружні властивості “структурованої рідини”:

. (18)

Перший член у (18) описує в’язкі, а другий – пружні властивості “структурованої рідини”. Враховуючи (7), (18) можна подати наступним чином:

. (19)

В умовах так званого «релаксаційного резонансу»:

, (20)

замість (19) маємо:

. (21)

тобто в’язкі та пружні (щодо деформацій зсуву) властивості “структурованої рідини” проявляють себе у однаковій мірі (з однаковою «вагою»). Отже, у цьому випадку модель Максвелла переходить у модель Кельвіна–Фойгта [3].

Таким чином, модель Максвелла дає можливість врахувати релаксацію, тобто пружні характеристики у рідини, а модель Кельвіна–Фойгта – в’язкі характеристики у твердого (квазітвердого) тіла.

Подамо моделі Максвелла й Кельвіна–Фойгта для одновимірного випадку, тоді матимемо:

а) для моделі Максвелла –

; (22)

б) для моделі Кельвіна–Фойгта –

. (23)

Обидві моделі мають суттєві недоліки, а саме:

а) з рівняння (22) випливає, що при , , тобто швидкість деформування “структурованої рідини” постійна. Це не відповідає дійсності!

б) з рівняння (23) випливає, що при , , що у реальних умовах не спостерігається. В дійсності за постійних деформацій ( ), , а релаксує. Отже (23) не враховує процесів релаксацій у “структурованій рідині” напружень. Бажаючи позбавитись від вказаних недоліків моделей Кельвіна-Фойгта і Максвелла, О.Ю. Ішлінський [7] запропонував більш загальну модель, яка включає у себе, як частинний випадок, моделі Кельвіна-Фойгта та Максвелла. Рівняння О.Ю. Ішлінського записується наступним чином (одновимірний випадок):

, (24)

де – постійні грунту. При маємо модель Кельвіна-Фойгта, а при – модель Максвелла.

З урахуванням залежності й пропорційної (24) можна подати у вигляді:

, (25)

Тому, для випадку одновимірної постановки задачі маємо у результаті наступні залежності від :

а) модель Максвелла –

, (26)

б) модель Кельвіна-Фойгта –

, (27)

в) модель О.Ю. Ішлінського –

, (28)

де ; ; ; .

Подаючи, як і у [8], залежність від у вигляді:

, (29)

маємо формулу для еквівалентної в’язкості (динамічної) для вказаних вище трьох моделей оброблюваного віброплугом грунту:

а) модель Максвелла –

; (30)

б) модель Кельвіна-Фойгта –

, (31)

в) модель О.Ю. Ішлінського –

(32)

Для кінематичної в’язкості маємо:

, (33)

де – щільність оброблюваного віброплугом грунту.

Умови, за яких мінімізуються сили тертя віброплуга з оброблюваним грунтом, мають вид:

а) ; (34)

б) ; (35)

в) ; (36)

г) ; (37)

де – відстань між корпусами віброплуга, – множина натуральних чисел.

З формули (30) для моделі Максвелла можна встановити, що:

. (38)

Таким чином у ТМ на тіла, які здійснюють коливні рухи, діють два типи сил:

1) пропорційні (швидкості деформації), які призводять до дисипації енергії і власне створюють сили (ефекти) тертя / опору рухові віброплуга.

2) пропорційні (прискорення деформації), які не пов’язані з дисипацією енергії [8], і називаються інерційними.

Еквівалентна (для ТМ) динамічна ( ) в’язкість має вид:

. (39)

Зі співвідношення (39) чітко видно, що завдяки наявності у ТМ вібрацій з круговою частотою можна досягти зменшення коефіцієнту в’язкості.

При визначенні сили тертя, яка діє на кожну з двох паралельних твердих площин, між котрими знаходиться прошарок середовища (реологічною моделлю котрого є ТМ), причому одна з площин здійснює коливний рух у своїй площині (модель руху віброплуга), можна встановити, що швидкість руху середовища (грунту як ТМ) має вид:

, , , (40)

де – щільність грунту, – відстань між площинами, – поточна координата, – швидкість руху поверхні ( ), яка здійснює коливний рух.

Сила тертя (на одиницю поверхні) на рухомій площині дорівнює:

, (41)

і за умови:

, (42)

прямує до нуля ( ).

Разом з тим на нерухомій поверхні ( ):

. (43)

Залежність й від частоти із врахуванням , має вид функції, котра описується наступним виразом:

. (44)

Можна показати, що виходячи з (44):

а) , якщо або ,

б) набувають максимального значення при ( , ), тобто за відсутності «просторового» антирезонансу (min).

Нижче (рис.1) наведений графік залежності (40), який характеризує просторовий розподіл швидкості коливань грунту (у межах моделі ТМ) між площинами (( ) – вібрує та ( ) – знаходиться у стані спокою).

Рис.1. Графік залежності

Література:

1. Ландау Л.Д. Теоретическая физика: Учебное пособие. В 10 т. Т.VII. Теория упругости. / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. – М.: Наука, 1965. – 204с.

2. Яворский Б.М. Справочник по физике для инженеров и студентов вузов / Б. М. Яворский, А.А. Детлаф. – М.: Наука, 1977. – 944с.

3. Овчинников П.Ф. Виброреология / П.Ф. Овчинников. – К.: Наукова думка, 1983. – 272с.

4. Блехман И.И. Вибрационное перемещение. / И.И. Блехман, Г.Ю. Джанелидзе. – М.: Наука, 1964. – 412с.

5. Воюцкий С.С. Курс коллоидной химии / С.С. Воюцкий. – М.: Химия, 1964. – 574с.

6. Ребиндер П.А. Физико-химическая механика – новая область науки / П.А. Ребиндер. – М.: Знание, 1958. – 64с.

7. Ишлинский А.Ю. Разрушение не вполне упругих материалов / А.Ю. Ишлинский // Ученые записки Московского государственного университета. – 1946. – Вып. 117. – сер. Механика. – Т.1. – с. 26 – 46

8. Ландау Л.Д. Теоретическая физика: Учебное пособие. В 10 т. Т. VI. Гидродинамика. / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. – 736с.