Долгарев А.И.

РАЗЛИЧНЫЕ ПО Ф.КЛЕЙНУ ЕВКЛИДОВЫ ГЕОМЕТРИИ:

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ

Согласно Эрлангенской программе Ф.Клейна, геометрия определяется группой своих коллинеаций. Евклидовы движения произвольное направление в 3-мерном евклидовом пространстве отображают на любое направление в . Указанная группа движений определяет элементарную евклидову геометрию. Моделью элементарной геометрии является аналитическая геометрия (элементарная геометрия имеет дело с постоянными величинами, потому и элементарна, а ее модель относится к высшей математике – математике переменных величин). Кривые евклидова пространства изучает дифференциальная геометрия. Регулярные евклидовы кривые обладают также и галилеевыми кривизной и кручением [1]. Галилеевыми натуральными уравнениями евклидова кривая определяется значительно проще, чем евклидовыми. Плоскость галилеевых кривизн евклидовой кривой движется вдоль кривой параллельно сама себе. Из этого факта следует неоднородность евклидова пространства, содержащего регулярные кривые. Группа движений неоднородного евклидова пространства выявляет инвариантное направление в пространстве, [2] в отличие от группы движений однородного пространства. Элементарная евклидова геометрия и дифференциальная евклидова геометрия обладают различными неизоморфными группами движений.

1. Об элементарной геометрии

Взаимно однозначное отображение пространства самого на себя, сохраняющее расстояния между точками, называется движением пространства. Множество всех движений пространства является группой. Движение, в котором точка отображается на точку , описывается формулами

(1)

матрица движения ортогональна и имеет вид

(2) , .

Группа движений изоморфна группе матриц, являющейся произведением ортогональной группы и группы параллельных переносов пространства.

В элементарной геометрии изучаются группы симметрий правильных многогранников (однородные подгруппы ортогональной группы), среди групп кристаллов имеются неоднородные.

Существует много различных систем аксиом евклидовой геометрии, среди них система аксиом М. Пиери, 1899 год, см. [3, с. 21 – 22]. Основными понятиями этой аксиоматики являются точка и движение. Есть и другие, более современные системы аксиом евклидовой геометрии, основанные на движениях. Более того, Ф. Бахман, используя понятие симметрии, строит не только евклидову геометрию, но и другие геометрии, в том числе и гиперболическую, [4].

2. Геометрия многообразия

Кривые и поверхности в дифференциальной геометрии рассматриваются в некотором репере, их свойства не зависят от выбора репера, однако, используется аппарат геометрии многообразия . Аффинное пространство и его линейное пространство являются многообразиями . В определены кривые и поверхности как отображения из или из в , являются множествами точек и описываются векторными функциями

(3) , , или , ; .

Аффинные свойства кривых и поверхностей изучает аффинная геометрия. Их метрические свойства изучает соответствующая геометрия: евклидовы свойства кривых и поверхностей – евклидова геометрия, галилеевы свойства – галилеева геометрия и т.д.. Вводя евклидово скалярное произведение векторов в линейное пространство аффинного пространства получаем евклидово пространство , евклидова геометрия изучает евклидовы свойства кривых и поверхностей (3). Вводя галилеево скалярное произведение векторов, [5, с. 32 – 33], в , превращаем аффинное пространство в пространство-время Галилея , галилеева геометрия изучает галилеевы свойства кривых и поверхностей (3). Линии и поверхности (3) обладают аффинными, евклидовыми и галилеевыми свойствами; евклидовы и галилеевы свойства кривых и поверхностей выявляются лишь при выборе соответствующего скалярного произведения векторов в линейном пространстве аффинного пространства. Таким образом, имеется геометрия многообразия , ее объекты обладают аффинными, евклидовыми, галилеевыми и т.д. свойствами, но выявляются свойства различных качеств в результате выбора своего скалярного произведения векторов, [6].

Сформулированное положение имеет и другую реализацию: евклидовы линии и поверхности обладают как евклидовыми свойствами, так и галилеевыми свойствами. Нужно лишь ввести соответствующие понятия. Определены евклидовы кривизна и кручение регулярной евклидовой линии в и определены галилеевы кривизна и кручение регулярной евклидовой линии. [1]. Существует плоскость галилеевых кривизн евклидовой кривой, которая движется параллельно сама себе при движении обыкновенной точки по кривой. Таким образом геометрия многообразия едина, она изучает аффинные, евклидовы, галилеевы свойства своих объектов. Каждый вид свойств выявляется введением своего скалярного произведения векторов.

3. Пространство-время

Пусть точка пространства в момент времени имеет координаты , это означает, что рассматривается событие . Компонента события называется временной, компоненты события являются пространственными. Множество всех событий есть мир, называемый пространством-временем. Множество событий является пространственной составляющей мира, считается, что она евклидова. Скалярное произведение векторов в линейном пространстве мира выявляет соответствующие свойства мира. Мир может быть псевдоевклидовым индекса 1 – пространством-временем =, а может быть и галилееым пространством-временем =. Галилеев мир является предельным случаем псевдоевклидова мира при условии, что скорости движущихся объектов мира малы по сравнению со скоростью света.

Пусть репер мира , векторы = и = определяют события = и = соответственно, паре событий соответствует вектор . Задано отображение .

Псевдоевклидовым скалярным произведением векторов , называется число

= ,

длиной (модулем) вектора называется число :

= .

Расстояние между точками и равно

= .

Получен псевдоевклидов мир =. Множество событий вида есть временная составляющая мира , множество событий вида – пространственная составляющая. Множество событий вида =, фиксированный момент времени, является множеством одновременных между собой событий. Первые компоненты векторов нулевые, есть евклидово подпространство .

Галилеевым скалярным произведением векторов , называется число

=

См. [5, с. 32 – 33]. Модуль вектора равен и

=

Расстояние между событиями равно

=

По терминологии в [7, с. 41], так определяется квазиметрика на многообразии. Получено пространство-время Галилея =. Множество одновременных между собой событий является евклидовым пространством .

4. Неоднородность евклидова пространства

Движения псевдоевклидова мира описываются формулами Лоренца

, , , ;

они получены и в [8, с. 200 – 201]. Матрица движений имеет вид

(4) , , , .

В выписанных формулах Лоренца элементы матрицы таковы:

, , , , ,

.

Из строения этих формул следует, что евклидова плоскость = пространства отображается в движениях на параллельную ей плоскость ,следовательно, пространственная составляющая мира неоднородна, [2]. В этом пространстве 2-мерное направление инвариантно, каждое из 1-мерных направлений , инвариантно.

Формулы Галилея таковы:

, , , ;

их матрица имеет тот же вид, что и (4), значения элементов матрицы другие, согласно формулам. Пространственная составляющая мира неоднородна и является евклидовой.

Как отмечено выше, в п.2, регулярная евклидова кривая обладает плоскостью галилеевых кривизн, которая движется вдоль кривой параллельно сама себе, т.е. плоскость перемещается в евклидовых движениях с матрицами вида

(5) , 1.

В указанных движениях имеется 1-мерное инвариантное направление и 2-мерное инвариантное направление – направление плоскостей галилеевых кривизн регулярных линий евклидова пространства , [2]. Наличие регулярных кривых в евклидовом пространстве несовместимо с однородностью пространства.

5. Группы движений двух евклидовых пространств

Группа движений пространства элементарной евклидовой геометрии изоморфна группе матриц вида (2). Группа движений евклидова пространства, содержащего регулярные кривые, изоморфна группе матриц вида (5), это группа движений евклидовой дифференциальной геометрии. Матрицы вида (5) являются частным случаем матриц (3), очевидно, подгруппа группы . В соответствии с Эрлангенской программой Ф.Клейна, геометрии групп движений , различны. Установлена

Теорема. Группа движений элементарной евклидовой геометрии не совпадает с группой движений дифференциальной евклидовой геометрии.

Первая из этих геометрий однородна, вторая неоднородна. Применение в геометрических исследованиях методов дифференциального исчисления привело к принципиальному изменению предмета исследования.

6. Возможная интерпретация неоднородного пространства

Примером неоднородного пространства является Солнечная планетная система. Солнце и планеты расположены в плоскости эклиптики, которая движется в окружающем пространстве параллельно сама себе. Об этом свидетельствует то, что очертания созвездий существенно не изменились за многие века. Каким-то аналогом плоскости эклиптики в евклидовом пространстве можно считать плоскости галилеевых кривизн евклидовых линий, все они параллельны, но их поступательное движение нечем не ограничено. Околосолнечное пространство вряд ли евклидово. Орбиты планет не круговые, а эллиптические, оси вращения планет не перпендикулярны плоскости эклиптики. Если это аффинное пространство, то ввести в него евклидову метрику невозможно. Это повлекло бы вселенскую катастрофу, в которой орбиты планет стали бы круговыми и изменились бы направления осей вращения планет. Есть пример системы более близкой к евклидовой – система Сатурна. Вещество-спутник планеты размыто в кольца, его части движутся по круговым орбитам, но все-таки это плоское образование, а не сферическое.

Использованная литература

1. Долгарев А.И., Долгарев И.А. Некоторые приложения галилеевых методов. // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки, 2009, № 2(9), с. 39 – 59.

2. Долгарев А.И., Долгарев И.А. Неоднородность пространственной составляющей пространства-времени. – Материали за VIII Международна научна практична конференция «Новини на научния прогрес – 2012» 17 – 25 август 2012 г. Том 9. Математика. Съвременни технологии на информации. – София: Бял ГРАД-БГ ООД 2012, с. 29 – 39.
3. Гильберт Д. Основания геометрии. - М.-Л., 1948. -492 с.

4. Бахман Ф. Построение геометрии на основе понятия симметрии. – М.: Наука, 1969.

– 380с.

5. Долгарев А.И. Классические методы в дифференциальной геометрии одулярных пространств. Монография./ А.И. Долгарев. – Пенза: ИИЦ ПГУ, 2005.- 306с.

6. Долгарев А.И. О геометрии 3-мерного действительного многообразия. – Вестник Татарского государственного гуманитарно-педагогического университета. – Казань, 2010, вып. 1(23). – С. 2 – 19.

7. Розенфельд Б.А., Замаховский М.П. Геометрия групп Ли. Симметрические, параболические и периодические пространства. – М.: МЦНМО, 2003. - 560с.
8. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. - М.: Наука, 1967. - 664с.