Таттибеков К.С.

Таразский государственный педагогический институт, Казахстан

Анализ солитонов в одной двумерной модели магнетиков

Обнаружение нелинейных подвижных протяженных объектов как в теоретических моделях, так на экспериментальном уровне стало одним из основных глобальных событий в физике последних десятилетий, и сейчас термин "солитон", означает целый класс нелинейных объектов, на которые возлагаются большие надежды как на ключ для решения ряда самых актуальных физических проблем.

Стабильность солитонов, кинков и других частицеподобных кластеров часто оказывается связанной с существованием дополнительных (ненетеровых) законов сохранения так называемых "топологических зарядов", которые в ряде случаев могут принимать только дискретные значения, и связаны с глобальными характеристиками многообразия полевых конфигураций. Часто солитоны стабилизируется наличием интегралов движения типа $E, $P и $N. Такие солитоны называются динамическими и существуют как стационарные состояния только в меру сохранения величин E, P, N. Если включить в уравнения движения сколь угодно малые возмущения, разрушающие эти интегралы движения, то динамические солитоны могут быть ликвидированы, и возбужденный магнетик будет переведен в основное состояние. При этом переход  магнетика из возбужденного состояния в основное сопровождается непрерывной деформацией  поля намагниченности. Иногда говорят, что динамический солитон топологически эквивалентен основному состоянию. Например, неоднородное состояние одномерного ферромагнетика топологически эквивалентно основному.

Одномерное решение уравнений Ландау-Лифщица, как бы соединяющее два вакуума, описывает такое неоднородное состояние намагниченности, которое никакими конечными деформациями поля намагниченности не может быть сведено к основному[1]. Подобные решения принято называть топологически особыми, им отвечают топологические солитоны. Примером таких топологических солитонов является кинки.

Одной из физически важных нелинейных моделей двумерных магнетиков является (2+1)-мерное обобщенное уравнение  Ландау-Лифщица (ОУЛЛ) следующего вида [2,3]:

                            ,                          (1)  

где      - матрица анизотропии, причем ,  -  некоторая вектор-функция.

В изотропном случае ()  ОУЛЛ (1)  принимает вид

                                      .                                        (2)

Введем стереографическую проекцию спинового вектора   согласно формулам [1]:

,

где    является комплексной функцией.  В терминах новой комплексной переменной ,  и при подходящем выборе  уравнение (2) принимает вид

                   .                    (3)

Здесь h некоторая комплексная функция.

Решение поставленной задачи построено в работе [4] в виде

                                    ,                                        (4) 

где  и    является целыми числами,   - некоторая комплексная константа, из которого получаем следующее представление

где   и  . 

Далее анализируем полученные решения. Рассмотрим топологический заряд этих решений. Соответствующее число наматывания обхода может быть вычислено с помощью формулы

.

Вспомним, что топологический заряд любого рационального отображения , где   есть полином, равен степени этого полинома. Выражение (4) также является полиномом, так что

Заметим, что полный топологический заряд этих решений фиксируется асимптотически ведущим членом, т.е. наибольшим значением  . В тоже время локальное распределения топологических солитонов зависит от всех чисел . В самом деле, если рассмотреть эти решения при больших , то векторное поле  раз наматывается вокруг начала координат. Как мы обсудим ниже, наша конфигурация проявляется как  солитонов с топологическими зарядами  , где    зависит от чисел   и . Полным зарядом является сумма   индивидуальных зарядов                                 

.

Найдем позицию солитонов. Она определяется как решение следующего условия:

                                                                .                                                               

Таким образом, точки локализации солитонов определяются уравнением

                           .                    (5)

К сожалению,  не удается построить точные аналитические решения этого уравнения для произвольных .  При необходимости  можно построить численное решение этого уравнения для любого заданного значения . В данной работе найдены точные аналитические решения в двух простейших случаях:  при   и  .

а)  Случай  .  При   уравнение (5) примет вид

                                    .                                 

Мы видим, что здесь существуют   солитонов, каждый из которых имеет единичное топологическое число  и  локализованы на круге с радиусом                                      

                                                          ,                                                                

в точках                                   ,                                                                      

где  .

б)  Случай .  Случай   является более интересным и содержательным.  Пусть .  Тогда уравнение (5) принимает вид                  

                                     .                                

В этом случае солитоны  локализованы  в следующих точках

,       ,                                      

где  . Здесь имеется два типа солитонов. Первый находится в начале координат с числом витков равным к min. Вокруг этого солитона находится   сателлитных солитонов с единичным топологическим зарядом.

 

Литература:

1.     Косевич А.М., Иванов Б.А., Ковалев А.С. Нелинейные волны намагни-ченности. Динамические и топологические солитоны. –Киев:Науково Думка, 1983.-192 с.

2.     Ferrer R. /Phys.Pev., 1989, B40,№16, p.1107.

3.     Тунгатаров А.Б., Нугманова Г.Н., Мырзакулов Р. Интегрируемые обоб-щенные уравнения Ландау-Лифщица/ Евразийский математический журнал, 2005, №2, с.33-40.

4.     Таттибеков К.С. Солитоны  в одной изотропной модели магнетиков / Материалы VIII международной научно-практической конференции «Новейшие научные достижения»,Т31, Математика, София,2012,с.3-7.