ктн, доцент Василенко В. С.

Національний авіаційний університет, Україна

Завадостійкі коди і пропускна спроможність каналу

Відомо, що згідно із теоремами Шеннону потенційна пропускна спроможність каналу з завадами при ширині смуги пропускання та співвідношенні сигнал/завада h² дорівнює:

. (1)

Відомо також, що застосування завадостійких кодів, серед іншого, призводить до позитивного ефекту, який має назву енергетичного виграшу від кодування, який визначається як:

g = h²/(h^/)² = R(t+1). (2)

Із виразу (2) витікає:

h² = (h^/)²·R(t+1).

У виразах (1) та (2): (h^/)² та h² – співвідношення сигнал/завада при застосуванні та без застосування завадостійкого кодування відповідно, які є потрібними для забезпечення однакової імовірності викривлення символу Р_викр; R і t – відповідно відносна швидкість коду та кратність викривлень, які виправляються у блоці (пакеті) даних, що передаються в каналі, при застосування механізмів завадостійкого кодування, включаючи і перемежування.

Отже, застосування завадостійкого кодування дозволяє в умовах меншого співвідношення сигнал/завада забезпечити таку ж імовірності викривлення символу Р_викр, як і без такого кодування. Або ж застосування завадостійкого кодування при тому ж значенні співвідношення сигнал/завада (h² = (h^/)²) повинно призвести до збільшення пропускної спроможності каналу до величини . Тоді, вочевидь, вираз (1) набуде вигляду:

. (3)

Однак застосування завадостійких кодів за рахунок введення необхідної при цьому надлишковості призводить і до такого негативного явища, яким є зменшення відносної швидкості посимвольної передачі від одиниці (при відсутності надлишковості, яка є притаманною будь-яким завадостійким кодам) до R_k < 1, яка залежить від способу організації обміну в каналі (із застосуванням завадостійких корегувальних кодів (ЗКК) чи із застосуванням вирішуючого зворотного зв’язку (ВЗЗ)).

Звернемо увагу, що у виразі (3) є чинники, які збільшуються чи зменшуються при застосуванні завадостійкого кодування. Зрозуміло, що із погляду пропускної спроможності, застосування завадостійких кодів є ефективним, якщо при цьому задовольняються, принаймні дві наступних вимоги:

1. Потенційна пропускна спроможність каналу в умовах застосування завадостійкого кодування є, принаймні, не меншою ніж потенційна пропускна спроможність безперервного каналу в умовах відсутності такого кодування:

≥.

Звідси:

.

Скоротимо обидві частини нерівності на та внесемо величину під знак логарифму. Тоді одержимо:

,

.

Ця нерівність є позитивною величиною, коли підлогаріфмичний вираз більший ніж одиниця, тобто коли:

.

Тоді одержимо наступну нерівність:

,

Звідси, при , що є притаманним більшості відомих завадостійких кодів, витікає вимога:

.

Отже, як перший висновок, можна сформулювати наступне твердження: доцільним є застосування будь-якого протоколу обміну, що є здатним виявляти та виправляти викривлення із застосуванням відповідного завадостійкого коду.

2. Застосовані протоколи повинні забезпечувати виявлення та виправлення усіх можливих викривлень. Для цього можливості з виявлення чи виявлення та виправлення викривлень завадостійких кодів, застосованих у відповідних протоколах, повинні бути узгодженими із кратністю викривлень, які є можливими у повідомленнях, які передаються по відповідному каналу.

Кратність викривлень в межах одного повідомлення із кількістю символів N визначається наявним співвідношенням сигнал/завада – h². Як відомо, ця кратність може бути визначеною із виразу:

N_викр= N·Р_викр, (4)

де, в свою чергу, імовірність викривлень Р_викр визначається співвідношенням сигнал/завада – h² та видом модуляції, застосованої при передачі відповідних символів (через відомий для кожного виду модуляції коефіцієнт α²):

Р_викр = 0,5·ln(h²·α²/2).

Врахуємо при цьому, що можливості завадостійких кодів визначаються щодо первинних інформаційних об’єктів – базових кодових слів (БКС), які мають загальну довжину (значність коду) – n символів. Тоді кратність викривлень в межах одного БКС, виходячи із (4), можна визначити як:

n_викр= n·Р_викр. (5)

Якщо позначити можливості з кратності виявлених чи виявлених та виправлених викривлень завадостійкого коду, застосованого у відповідному протоколі, через n_вк, то зрозумілою є вимога:

.

Із останньої нерівності із врахуванням (5) можна визначити допустиму довжину БКС, при якій можливості застосованого завадостійкого коду відповідають можливій кратності викривлень:

. (6)

Зрозуміло, що у більшості практичних протоколів довжина повідомлень N є більшою ніж визначена в (6) довжина БКС. Окрім того слід врахувати ту особливість викривлень інформаційних об’єктів, яка полягає у їх можливості групуватися у спалахи чи пакети викривлень (бути корельованими). Тоді із метою задоволення вимог виразу (6) та вимог щодо кількості викривлень, які можуть виникнути на ділянці повідомлення довжиною n символів слід застосувати відомий механізм перемежування (декореляції) БКС у межах повідомлення. При декореляції повідомлення із кількістю символів N розбивається на БКС, символи кожного із них передаються не послідовно, а із перемежуванням символами інших БКС. На приймальному боці виявлення та можливе виправлення викривлень здійснюється в межах кожного із БКС. Тому пакет (спалах) викривлень розпорошується по БКС і, при правильному виборі характеристик перемежування забезпечується виконання вимоги (6), а отже – виявлення та можливе виправлення викривлень.

Важливою характеристикою механізму перемежування (декореляції) є при цьому кількість БКС λ у межах одного повідомлення. Величина λ зазвичай має назву глибини і її неважко визначити, хоча б із вимоги

(7)

Таким чином, застосування завадостійкого кодування в протоколах обміну інформаційними об’єктами з метою підвищення пропускної спроможності каналу у більшості практичних випадків є необхідним і доцільним. При цьому значність потрібного завадостійкого коду повинна відповідати вимозі (6), а протокол обміну повинен передбачати перемежування БКС із глибиною, яка визначається із виразу (7).