УДК 517.95

Турметов Б.Х., Шыналиев К.М.

 

Об одном методе построения  решения

обыкновенных дифференциальных уравнений  дробного порядка

 

         В настоящей работе рассматривается операторный метод построения решения обыкновенных  дифференциальных уравнений дробного порядка.

Пусть . Рассмотрим следующие операторы дробного интегро-дифференцирование дробного порядка (см.[1])

,              

,              

,                

         Здесь  называется оператором интегрирования порядка  в смысле Римана-Лиувиля, а  и  операторами дифференцирования порядка  в смысле Римана-Лиувиля и Капуто соответственно.

Рассмотрим дифференциальное уравнение вида

,                                       (1)

где

         Заметим, что исследуемый метод был рассмотрен для дифференциальных уравнений целого порядка в работе [2].

Пусть , . Легко показать, что  

.

Введем коэффициенты  , , , .

и рассмотрим функции

, ,

где  и  .

         Теорема 1. Пусть  и  принимает значения . Тогда  справедливы следующие равенства

, ,

Теорема 2. Пусть  и . Тогда  справедливы следующие равенства

, ,

Следствие 1. Если  и  принимает значения , то  функции  удовлетворяют уравнению (1) в случае оператора и .

Следствие 2. Если  и  принимает значения , то  функция 

является решением следующей задачи Коши

,

,

.

Следствие 3. Если  и  принимает значения , то  функция 

является решением следующей задачи Коши

, ,

,

где .

Замечание 2. Легко показать, что для коэффициентов и  при  справедливы следующие равенства

, .

         Следовательно, для функций  и  имеют место представления

,  .

         А тогда

,

функции типа Миттаг-Лефлера  и поэтому результаты следствия  2 и 3 совпадают с результатами работы [1,3].

Следствие 4. Если  и  принимает значения , то  функции , ,

удовлетворяют уравнению (1) в случае оператора .

Следствие 5. Если  и  принимает значения , то  функции , ,

удовлетворяют уравнению (1) в случае оператора .

ЛИТЕРАТУРА

Самко С.Г., Кильбас А.А., Маричев О.И. Интегралы ипроизводные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск, Наука и техника. 1987. – 688с.

2.Бондаренко Б.А. Операторные алгоритмы в дифференциальных уравнениях. – Ташкент,Изд.” Фан”., 1984. – 184с.

3.Kilbas A.A.New trends on fractional integral and differential equation. Ученые записки Казанского государственного университета.2005, т.147. кн.с.72-106.