Математика/5. Математическое моделирование

Д.т.н. Белявский Г.И., к.ф.-м.н. Данилова Н.В.

Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону, Россия

Вычисление справедливой цены в «модели с коридором»

Рассмотрим модель, являющуюся обобщением модели Блэка-Шоулса[1]:

, (1)

а именно, модель со случайным изменением тренда, как только цена акции достигает границ некоторого «коридора» . При достижении границ «коридора» коэффициент тренда изменяет знак так, чтобы цена акции оставалась в пределах данного «коридора». Изменение знака тренда может происходить за счёт изменения процентной ставки r с на и волатильности σ с на , например, следующим образом. Если начальная цена акции принадлежит отрезку , то , а . Если , то , а . Число переключений конечно и равно N. Назовём данную модель «моделью с коридором».

Справедливы две теоремы, которые обосновывают расчёты на данном - рынке.

Теорема 1. Рассматриваемый рынок является безарбитражным и полным.

Теорема 2.

Справедливая цена для европейского опциона Call[1] имеет вид:

, (2)

где ,

,

, i=1,…,N,

, i=1,…,N,

, .

Распределение вектора выглядит следующим образом:

(3)

,

,

,

…………….

,

,

где [2], а ‒ марковские моменты остановки, моменты достижений границ «коридора».

Приведём альтернативный способ вычисления справедливой цены европейского опциона: метод Монте-Карло.

Для достаточно большого числа экспериментов − L (популяций процесса S) выполнить следующие действия:

1. Произвести дискретизацию винеровского процесса по формуле:

,

где , , − число разбиений отрезка [0,T].

2. Произвести дискретизацию процесса S:

.

3. Определить моменты остановки: , и так далее до .

4. Зная , следует вычислить интегралы из теоремы 2 с помощью численных методов.

5. Найти справедливую цену финансового обязательства:

(4)

Приведём ещё один альтернативный способ вычисления справедливой цены европейского опциона: метод аппроксимации непрерывного рынка полным рынком с дискретным временем.

Дискретная аппроксимация модели (1) имеет вид:

, (5)

, n=1,…,,

где независимы, i=1,…,.

Обозначим через оптимальный капитал портфеля для «модели с коридором», тогда − справедливая цена. Финансовое обязательство

Теорема 3.

Пусть . Тогда справедливы следующие формулы:

(6)

(n=1,…, ; i=0,…,N).

Отметим, что для расчётов аналитический метод оказался самым неэффективным.

Литература:

[1] Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. М:ФАЗИС, 1998. 544 с.

[2] Barndorff-Nielsen O.E. Exponentially decreasing distributions for the logarithm of particle size // Proceedings of the Royal Society. London. Ser. A. 1977. V. 353. P. 401-419.