Математика / 5.Математическое моделирование

К.т.н., Исмаилов А.О.

Костанайский государственный университет им. А.Байтурсынова, Казахстан

Численные расчеты коэффициентной обратной задачи уравнений теплопроводности промерзающего грунта

 

Приближенные методы решения задачи распространение тепла и влаги в многослойной области изучена в серий работ [1-4]. Математический модель конвективного распространения тепла подробно описано в работе [5], а результаты многочисленных экспериментов теплообмена приведены в работе [6]. Многие задачи техники и пройзводства приводять нас к решению обратной задачи. Поэтому умение решать обратные задачи становятся актуальной задачей современного состояния развития науки. Некоторые теоретические результаты  идентификация параметра кондуктивного распространения тепла изучены в работах [7-8]. В настоящей работе приводится результаты численных экспериментов задачи определения коэффициента теплопроводности однородного грунта.

1. Постановка задачи. В области  изучается кондуктивное распространение тепла. Требуется определить коэффициент теплопроводности . Решение поставленной задачи будем искать из минимума функционала /7-9/:

.

Здесь  вычисленное значение температуры грунта на поверхности земли, а  фактическая температура грунта на поверхности земли. После теоретических рассуждений в работе /9/ получен следующий алгоритм решения поставленной задачи.

1) Задается начальное приближение

2) Решается прямая задача,           

,                                    (1)

где ,  ,

,                                                   (2)

,  ,                                                                      (3)

,  ,  , при ,                (4)

,   .                                                             (5)

.                                                                                   (6)

и определяется  и .

3) Решается сопряженная задача

                                                                      (7)

,                                                                                         (8)

,                                                    (9)

,                                                                                       (10)

 ,                                                              (11)

.                                                               (12)

и определяется

4) Вычисляется градиент функционала .

5) Следующее приближение коэффициента теплопроводности определяется по формуле:

, .

2. Численный эксперимент. В качестве экспериментальной зоны взяты двухслойный грунт: верхний слой земля влажная толщиной 1м, второй слой глина с толщиной 4м. Значения коэффициента теплопроводности земля влажная, глины измеряли прибором ИТ–-400, а значение коэффициента теплоемкости измеряли прибором ИТ–с–400. Теплофизические характеристики экспериментальной зоны приведены в таблице 1.

Таблица 1 - Теплофизические характеристики земля влажная и глина

Наименование материала

,

, вт/(м×град)

с, кДж/(кг×град)

Земля влажная

1700

0,658

2,01

Глина

1850

1,035

1,089

Эксперимент проводился, когда температура внешней среды меняется в течение 24, 48, 72, 96 часов. Шаг по пространственным переменным , а шаг по времени  час. Изучался динамика стремления приближенного значения температуры грунта на поверхности земли и коэффициента теплопроводности грунта к измеренному значению в процессе итерации (см. рисунок 1).

Если за начальное приближение коэффициента теплопроводности 1-го слоя взять  вт/(м*град), 2-го слоя  вт/(м*град), то процесс приближение показаны на рисунке 2 и 3.

Рисунок 1 – Отклонение приближенного значения температуры от точного значения температур грунта на поверхности земли

     а)                                                                          б)

Рисунок 2 - Приближение коэффициента теплопроводности двухслойного грунта при 30 итерациях 1-ряд истинное значение, 2-ряд приближенное значение: а) 1 слой; б) 2 слой

а)                                                                  б)

Рисунок 3 - Приближение коэффициента теплопроводности двухслойного грунта 60 итерации 1-ряд истинное значение, 2-ряд приближенное значение: а) 1 слой; б) 2 слой

Ниже приведена зависимость функционала от количества итерации (см. рисунок 4).

Рисунок 4 - Зависимость функционала от количества итерации

Исследовано отклонение приближенного значения температуры грунта на поверхности земли от точного значения. Результаты оформлены в виде таблицы 2:

Таблица 2 - Максимальное отклонение температуры грунта на поверхности земли

Количество итерации

30

60

90

120

Максимальное отклонение

0.17

0.162

0,158

0,155

 

На основе полученных максимальных погрешностей построена график, где показано динамика изменения погрешности предложенного итерационного метода (см. рисунок 5).

Рисунок 5 – Максимальное отклонение приближенного значения температуры грунта на поверхности земли от точного значения

Литература:

1.     Жумагулов Б.Т., Рысбайұлы Б., Адамов А.А. Сходимость разностной схемы для обобщенной задачи Стефана конвективного распространения влаги // Вестник НАН РК. 2007,  №5, с. 30-41.

2.     Рысбайұлы Б., Адамов А.А. Исследование изменений теплоемкости фазовой зоны в многослойном грунте  // Доклады  НАН РК. 2007, №4, с. 14-17.

3.     Рысбайұлы Б., Адамов А.А. Исследование теплопроводности фазовой зоны в многослойном грунте  // Вестник НАН РК. 2007, №4, с. 30-33.

4.     Рысбайұлы Б., Адамов А.А. Зависимость влаги от толщины слоя при промерзаний многослойного грунта // Известия НАН РК. Серия физика, математика. 2007, №5, с. 15-18.

5.      Мартынов Г.А. Тепло - и влагоперенос в промерзающих и оттаивающих грунтах. Основы геокриологии (мерзлотоведения). – М.: 1959, под. ред. Н.А. Цитович. гл. VI с. 153-192.