Математика/1.Дифференциальные и интегральные уравнения

Д.ф.-м.н. Городецький В. В.

Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича,Україна

Про один клас псевдодиференціальних операторів нескінченного порядку

Останні десятиліття інтенсивно розвивається теорія псевдодиференціальних операторів (ПДО), які формально можна подати у вигляді , , , де – функція (символ), що задовольняє певні умови, , – пряме та обернене перетворення Фур’є. Імпульсом до такого розвитку послужив той факт, що ПДО тісно пов’язані з важливими задачами аналізу і сучасної математичної фізики. Серед нових розділів цієї теорії особливої уваги заслуговує теорія рівнянь з ПДО, побудованими за негладкими однорідними символами. Випадок однорідних символів має важливі застосування в теорії випадкових процесів. Наприклад, ПДО з символом , , який трактується як оператор Лапласа степеня , є твірним оператором симетричного стійкого процесу. Теорія ПДО з негладкими символами тісно пов’язана також із сучасною теорією фракталів.

Дослідженням ПДО та задачі Коші для еволюційних рівнянь з ПДО займалося багато математиків, використовуючи різні методи й підходи (M.Nagase, R. Shinkai, C. Tsutsumi, М. А. Шубін, М. Тейлор, Л. Хермандер, Ф. Трев, Ю. А. Дубінський, Б. Й. Пташник та ін.). При цьому одержані важливі результати про розв’язність задачі Коші у різних функціональних просторах. У теорії задачі Коші для параболічних псевдодиференціальних рівнянь (ППДР) з негладкими однорідними символами на теперішній час добре відомі результати про будову та оцінки фундаментальних розв’язків задачі Коші, за допомогою яких одержані інтегральні зображення розв’язків. Досліджені якісні властивості розв’язків ППДР та систем таких рівнянь (зокрема, поведінка розв’язків при необмеженому зростанні часової змінної, їх невід’ємність, стійкість за Ляпуновим, теореми типу Ліувілля). Ці результати є науковим надбанням ряду вітчизняних та зарубіжних математиків, зокрема, С. Д. Ейдельмана, Я. М. Дріня, М. В. Федорюка, А. Н. Кочубея [1-4] та ін.

Для подальшого розвитку теорії ПДО та ПДР з негладкими символами представляє науковий інтерес дослідження властивостей ПДО “нескінченного порядку” вигляду , де . Еволюційні рівняння з такими операторами є природними узагальненнями відомих параболічних псевдодиференціальних рівнянь. У певному розумінні близьким до такого питання є питання про зображення лінійних неперервних відображень у вигляді диференціальних або інтегральних операторів, операторів узагальненого диференціювання скінченного та нескінченного порядків, яке вивчається в теорії аналітичних у крузі функцій. У цій роботі розглядається операторне числення в одному класі зліченно нормованих просторів нескінченно диференційовних функцій, який є природним середовищем для дослідження задачі Коші та багатоточкових за часом задач для еволюційних псевдодиференціальних рівнянь.

Нехай – фіксоване число з множини , , , ,

. У вводиться структура зліченно нормованого простору за допомогою норм [5]: , де , – фіксований параметр.

Позначимо через поповнення за -ою нормою; – банахів простір, при цьому правильними є вкладення ; кожне таке вкладення є неперервним, щільним і компактним; – повний досконалий зліченно нормований простір з топологією проективної границі банахових просторів [5].

Функції з простору абсолютно інтегровні на , тому на них визначена операція перетвореня Фур’є : .

Стмволом позначатимемо Фур’є-образ простору : . Перетворення Фур’є відображає простір на взаємно однозначно й взаємно неперервно.

Нехай : – неперервна однорідна порядку функція, яка: 1) нескінченно диференційовна на ; 2) для похідних функції справджуються оцінки , , 3) існують сталі такі, що .

Прикладом функції , яка задовольняє умови 1) – 3), може служити функція .

Із умов 1) – 3) випливає, що функція є мультиплікатором у просторі . Отже, оператор , який задається правилом , , відображає простір в себе, є лінійним і неперервним.

Говоритимемо, що в просторі задано псевдодиференціальний оператор нескінченного порядку , якщо для довільної основної функції ряд зображає деяку основну функцію з простору .

Нехай – фіксоване число, – нескінченно диференційовна на функція, яка допускає аналітичне продовження у всю комплексну площину і задовольняє умову:

. (1)

Теорема. Якщо функція задовольняє умову (1), то в просторі визначений і є неперервним псевдодиференціальний оператор нескінченного порядку .

Для того, щоб уникнути громіздких викладок, наведемо тут лише схему доведення. Нехай ,

.

Потрібно довести, що . Із властивостей перетворення Фур’є (прямого та оберненого) випливає, що для доведення твердження досить показати, що . Запишемо (поки-що формально) співвідношення

. (2)

Далі доводимо, що – мультиплікатор у просторі ; операція неперервна в просторі ; проведені в (2) перетворення є коректними. Для цього досить довести правильність співвідношення

у просторі . Звідси вже випливатиме, що оператор у просторі визначений коректно і є неперервним у цьому просторі.

Зауваження 1. Із співвідношення (2) випливає, що , , тобто – псевдодиференціальний оператор, побудований за символом , негладким у точці 0.

Як приклад, розглянемо функцію , , , яка, як доведено в [6], є цілою, має експоненціальне зростання порядку в площині та експоненціальне спадання порядку на дійсній осі, тобто задовольняє умову (1). Тому якщо ( – параметри з умов 1) – 3), які задовольняє функція-символ ), то в визначений, є лінійним і неперервним псевдодиференціальний оператор нескінченного порядку , , .

Зауваження 2. Якщо ціла функція задовольняє умову (1) з параметром , а однорідна функція-символ , за якою будується псевдодиференціальний оператор , має порядок однорідності , задовольняє умови 1) – 3), де в умові 3) , то твердження теореми залишається правильним і в цьому випадку. Зазначимо, що тоді в просторі коректно визначені оператори , .

Нехай – поліном степеня , , над полем комплексних чисел, який задовольняє умову

.

Тоді , ,

.

Скориставшись рядом теорем з [6], які є узагальненнями теореми Фрагмена-Ліндельофа одержимо, що функція в комплексній площині задовольняє також нерівність з деякими сталими . Отже, функція задовольняє умову (1) з параметрами , , і в просторі визначені та є неперервними оператори , , де – фіксований параметр. У цьому випадку розв’язок еволюційного рівняння

, (3)

формально можна записати у вигляді , де , , і досліджувати задачу Коші та багатоточкові за часом задачі для рівняння (3) за допомогою операторного методу. До рівнянь (3) належить також еволюційне рівняння (тут , ).

Література:

1. Эйдельман С. Д., Дринь Я. М. Необходимые и достаточные условия стабилизации решений задачи Коши для параболических псевдодифференциальных уравнений // Приближенные методы математического аналза. – Киев, 1974. – С. 60-69.

2. Дринь Я. М. Фундаментальное решение задачи Коши для одного класса параболических псевдодифференциальных уравнений // Докл. Ан УССР. Сер. А. – 1977. – №3. – С. 198-203.

3. Федорюк М. В. Асимптотика функции Грина псевдодифференциального параболического уравнения // Дифференц. уравнения. – 1976. – №7. – С. 1296-1301.

4. Кочубей А. Н. Параболические псевдодифференциальные уравнения, гиперсингулярные интегралы и марковские процессы // Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1988. – Т. 52, №5. – С. 909-934.

5. Городецький В. В. Граничні властивості гладких у шарі розв’язків рівнянь параболічного типу. – Чернівці: Рута, 1998. – 225 с.

6. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Пространства основных и обобщенных функций. – М.: Физматгиз, 1958. – 307 с.