Листопадова В.В.

Національний технічний університет України «КПІ»

БЕЗВИХРОВИЙ РУХ АПАРАТУ В НЕСТИСЛИВІЙ РІДИНІ

Розглянемо, як найбільш простий, випадок плоского потоку, в якому розміщений апарат у формі нескінченного за протяжністю циліндра з утворюючими, що перпендикулярні площині течії. Обмежимо коло аналізуємих задач вивченням безвихорового потоку нестисливої рідини.

Наведемо відомі співвідношення –

.

Поступальний безциркуляційний потік ідеальної рідини за прийнятого припущення про безвідривність обтікання не чинить на коловий циліндр ніякого результуючого тиску.

Рівняння безвідривності

доводить, що функція повинна задовольняти рівнянню Лапласа

для усієї області течії, тобто зовні поверхні . Вважаємо, що потенціал являє собою однозначну функцію. У кожній точці М поверхні повинна виконуватися гранична умова

де не що інше, як проекція на нормаль “” до поверхні швидкості точки М цієї ж поверхні. Нормаль прийнята зовнішньою.

Умова, що рідина перебуває у спокої на безмежно віддалених точках, зводиться до граничних умов (рис. 1)

де .

Можна вважати, що величини прямують до нуля, якщо , подібно величині , а функція – подібно величині .

Припустимо, що рух апарату почався із стану спокою. Тоді, відповідно до теореми Лагранжа, течія рідини буде потенціальною. Окрім того, приймемо, що потенціал швидкості являється однозначною функцією (ця вимога зводиться до твердження, що циркуляція швидкості вздовж довільного контуру в рідині дорівнює нулю). Відносно рухомих осей , течія за цих умов постає неусталеною навіть при рівномірному рухові циліндра.

Кінетична енергія безмірного прошарку рідини одиничної висоти може бути обчислена за формулою

де – маса витисненої рідини в об’ємі, що приходиться на одиницю довжини циліндра. Повна кінетична енергія системи “циліндр – рідина” буде дорівнювати:

де – маса циліндра.

Застосування закону живої сили для одиниці маси рідини призводить до рівності –

,

або так:

,

де – зовнішня сила, яка діє на циліндр в напрямку осі .

Остання рівність доводить, що циліндр відчуває силу опору тільки за умови прискорення свого руху. При рівномірному прямолінійному переміщенні опір зникає. Рух циліндру під дією зовнішніх сил чиниться так, ніби рідина відсутня, але циліндр отримав додаткову масу, яка дорівнює масі витисненої рідини.