Тезисы доклада Математическая физика

К.ф-м.н. Скворцов Г.Е.

Санкт-Петербургский государственный университет

К.ф-м.н. Перевозников Е.Н.

Санкт-Петербургский государственный торгово-экономический университет

Динамические качественные переходы

Рассматривается метод получения критериев динамических переходов основанных на использовании сингулярностей в динамических моделях физических систем. Приведен пример демонстрирующий метод.

1. Динамический качественный переход (ДКП) – существенное изменение структуры или динамического режима физической системы в условиях сильной неравновесности. ДКП, в отличие от известных равновесных фазовых или структурных переходов, обладает рядом существенных особенностей:

а) условия возникновения и описания значительно отличаются от равновесных;

б) происходят при существенной неравновесности системы;

в) сопровождаются неустойчивым переходным состоянием, которому соответствует математическая особенность.

Существование математических особенностей в динамических моделях можно использовать как условие существования ДКП.

Связь физических и математических особенностей известна давно и используется для классификации фазовых переходов (скачек физических величин или их производных). Однако процесс перехода не имеет общего описания и общего критерия, хотя изучение различных феноменов сопровождающих эти переходы, например режимы обострения, динамического хаоса и т.д., вызывают повышенный интерес /1,2,3/.

В настоящей работе предлагается способ использования сингулярностей динамических моделей для определения условий существования ДКП и их описания.

2. Характерными математическими сингулярностями являются точки ветвления (бифуркации), уголки, скачки, острый резонанс, стремление величин или их производных к бесконечности. Представляет интерес и время возникновения и реализации сингулярности.

В динамических моделях описываемых системой дифференциальных уравнений для определяемых величин

,(1)

сингулярности проявляются в зависимости функции - от , времени- , параметров-. Алгоритм предлагаемого сингулярно – динамического метода

(СД) состоит: а) выявление по виду функции сингулярностей;

б) упрощение динамических уравнений с использованием сингулярностей;

в) качественный анализ уравнений;

г) решение упрощенных уравнений и определение времени развития ДКП.

Совокупность полученных согласованных результатов приводит к формулировке критерия ДКП.

3. Продемонстрируем метод на примере простой решаемой модели, заданной уравнением вида

(2)

- положительные параметры динамической одномерной системы, r- ресурс вводимый или выводимый из системы.

Указываем набор сингулярностей:

;(3)

;(4)

;(5)

.(6)

Особенности (6) обусловлены значениями r. Величины становятся комплексными при

. (7)

Эти особенности необходимо учитывать, поскольку они являются границами изменения режимов.

Выясняем какие из указанных сингулярностей приводят к ДКП. Прежде всего качественным переходом является стремление определяющей величины к бесконечности, как показывает локальный анализ это возникает при , время развития ДКП при этом определяется соотношением являющееся его критерием

.(8)

Особый режим возникает при условии (7), когда

.

С ростом r значения переходят в комплексную плоскость и критерий

ДКП приобретает вид

,(9)

c и d выражаются через исходные параметры согласно (4).

Наряду с демонстрацией СД метода обнаруживающий рад ДКП в простой модели, динамическая система испытывает существенный ДКП вплоть до разрушения как при вводе ресурса сверх граничного, так и при выводе его.

4. Представленный сингулярно-динамический метод по сути является динамической теорией катастроф и обладает рядом преимуществ по сравнению с используемыми методами обнаружения качественных переходов и связанных с ними неустойчивостями. Теория Ляпунова не описывает качественные переходы, а лишь указывает на возрастающее отклонение от исходного режима и в предельном, нейтральном варианте может использоваться для обнаружения динамических бифуркаций. В этом виде он доведен до удобного НРИ метода / 3 /, с помощью которого обнаружен целый ряд ДКП. Предложенный СД – метод не только указывает начало ДКП, но и определяет условия и время его реализации.

Литература

1. 1. М..Кузнецов С.П. Динамический хаос, ФМ. М. Физматгиз,2006.355 с.

2. 2. Перевозников Е. Н., Скворцов Г. Е., К теории устойчивости неравновесных систем, ЖТФ, 52, вып. 12,1982, с (2353 - 2359).

_{3. 3. Перевозников Е.Н. , Скворцов Г.Е., Динамика возмущений и анализ устойчивости неравновесных систем , СПТЭИ, 2010, (137)с.}

4. 4. Перевозников Е.Н.,Критерий устойчивости нелинейных систем, Изв.Вузов, физика ,№ ., 2013,( ).