Матіящук А.В., д.т.н. Шваб’юк В.І.

Луцький національний технічний університет, Україна

ВИЗНАЧЕННЯ НАПРУЖЕНЬ І ДЕФОРМАЦІЙ У В’ЯЗКОПРУЖНИХ БАЛКАХ

Розрахунок елементів конструкцій із традиційних пружно-пластичних матеріалів із властивостями, що не залежать від часу, у науковій літературі є достатньо вивченим. Разом з тим, існує багато композитних матеріалів, складовими яких є полімери, що після навантаження і розвантаження можуть не відновлювати свої об’єм і форму, тобто є матеріалами з реономними властивостями [1]. Деформації таких матеріалів залежать від швидкості та часу навантаження і визначаються так званими реологічними рівняннями. Одним із найпростіших таких рівнянь є відоме реологічне рівняння Максвелла – Томсона [2], яке можна запропонувати для розрахунку одномірних задач розтягу – стиску або згину ізотропних стрижнів (балок) із в’язкопружного матеріалу.

Розглядається задача визначення напружень і деформацій у балках із в’язкопружного матеріалу, що описується реологічним рівнянням Максвелла – Томсона [2]: (1)

де - поздовжні деформації та напруження, що виникають у балці вздовж осі , яка співпадає із її віссю; - миттєвий та статистичний модулі пружності; n – коефіцієнт часу релаксації. Крапки над величинами означають диференціювання за часом t.

Будемо вважати, що так само, як і для лінійно-пружного матеріалу [3], балка деформується згідно з гіпотезою плоских перерізів Бернуллі - Ейлера:

. (2)

Тут – кривина нейтральної осі балки; – відстань волокна від нейтральної осі балки.

Використовуючи залежності (2) та відому методику переходу від рівняння у напруженнях до рівняння у моментах, помножимо ліву та праву частини рівняння на і виконаємо інтегрування по площі поперечного перерізу балки:

(3)

Вважаючи, що – осьовий момент інерції перерізу балки;
та – згинальний момент і швидкість зміни згинального моменту в часі, підставимо їх у рівняння (3), одержимо:

(4)

Рівняння згину в'язкопружної балки (4) допускає зміну згинальних моментів М і кривини не тільки уздовж довжини балки, але й у часі.

Вважаючи прогини балки малими у порівнянні з її довжиною [3], можна замінити кривину другою похідною від прогину по довжині – . У цьому випадку отримаємо рівняння:

(5)

(штрихами позначено диференціювання по довжині стрижня ).

Вважається, що прогин у( ), як і момент М( ), є функціями часу t і положення перерізу по довжині балки х. Тому ці функції, використовуючи метод розділення змінних Фур'є, можна представити добутком функції довжини на функцію часу. Тоді епюри моментів та прогинів по довжині балки з часом будуть змінюватися лише за масштабом, зберігаючи форму. Тобто, епюри моментів та крива прогинів, не змінюють свого вигляду з часом, а тільки множаться на змінний у часі коефіцієнт. У цьому випадку балку можна розглядати як систему з одним ступенем свободи, в якості якого приймають узагальнене переміщення по прямій у під впливом узагальненої сили М. Якщо ж вигляд епюри моментів змінюється з часом, що може мати місце при зміні навантаження на балку не тільки у кількісному відношенні, але й за характером, то порівняно просто будуть знаходитися напруження і дещо складніше – прогини. Це стосується як статично визначених, так і статично невизначених балок, якщо останні мають абсолютно жорсткі або абсолютно рухомі умови обпирання (шарніри, жорстке защемлення, жорстка опора тощо). У таких балках із плином часу епюра моментів при постійному навантаженні не змінюється за виглядом; при змінному навантаженні для кожного моменту часу вона має такий же вигляд, як при звичайному статичному розрахунку. Тому функцію зміни згинального моменту в часі в кожному перерізі балки легко визначити, якщо відомий закон зміни в часі зовнішнього навантаження. Далі за функцією зміни моменту М (t) із рівняння (5) можна визначити функцію зміни кривини в даному перерізі, звідки можна знайти і напруження у перерізі на рівні , де z - відстань від нейтральної осі балки до волокна.

Розглянемо згин балки з в’язкопружного матеріалу, використовуючи рівняння (5). Для постійного навантаження, тобто при М = const, розв’язком (5) за початкової умови буде:

(6)

Рівняння (6), за сталого згинального моменту, можна вважати рівнянням повзучості матеріалу балки від згинального навантаження. Подальше інтегрування рівняння (6) за абсцисою потрібно виконувати у кожному окремому випадку відповідно до схеми завантаження і обпирання балки, тобто

(7)

Знайдемо, як розподіляються напруження по висоті балки. Відповідно до закону плоских перерізів поздовжні деформації волокна, віддаленого на відстань z від нейтральної осі балки, змінюються за лінійним законом (2).

Використовуючи значення (2) у виразі (1), записуємо його у вигляді

(8)

Виконавши інтегрування (8) за змінною t і замінивши на , після деяких перетворень отримаємо

(9)

Постійну інтегрування знаходять із умови, що при t = 0 значення . Тоді

(10)

Тобто стала і тому:

(11)

Таким чином, зміна напружень по висоті балки з в’язкопружного матеріалу відбувається за лінійним законом, причому в часі ці напруження не змінюються. Максимальне напруження у балці також знаходять за відомою формулою опору матеріалів [3]: де (для прямокутного перерізу), b і h – ширина і висота перерізу, відповідно.

_{Література}

_{1. Гудрамович В.С. Теория ползучести и ее приложения к расчету элементов тонкостенных конструкций. – К.: Наукова думка, 2005. 222 с.}

_{2. Малмейстер А.К., Тамуж В.П., Тетерс Г.А. Сопротивления полимерных и композитних материалов, Рига «Зинатне», 1980. 561 с.}

_{3. Шваб'юк В.І. Опір матеріалів: Навч. посібник. – К.: Знання, 2009. 380 с.}