Каряченко Н.В.

Національна металургійна академія України

ДОСЛІДЖЕННЯ ПОПЕРЕЧНИХ КОЛИВАНЬ ОДНОМІРНИХ

ГНУЧКИХ РОБОЧИХ ОРГАНІВ вантажотранспортуючих ПРИСТРОЇВ З РУХОМИМ інерційнИМ навантаженняМ

У цій статті розглядається задача про поперечні коливання одномірних гнучких робочих органів вантажотранспортуючих пристроїв, призначених для транспортування штучних вантажів, дискретно закріплених на гнучкому тяговому органі, виконаному у вигляді одного або декількох паралельних канатів, ланцюгів, стрічок. Вона зводиться до розв'язання лінійних диференціальних рівнянь гіперболічного типу зі змішаною похідною [1]. Застосування класичної схеми розподілу змінних в дійсній області шуканих функцій часто призводить не тільки до кількісних, а й до якісних погрішностей. Розподіл змінних некласичним способом, в основу якого покладено вибір рішення у вигляді спеціального двочленного уявлення, дозволяє більш точно описати динамічні процеси, що відбуваються в таких системах, без яких неможливо правильне проектування і безпечна експлуатація підйомних і транспортних установок.

Вивченню динаміки механічних об'єктів, таких як, канат, струна, балка, комбіновані системи, окремі випадки пластинок і оболонок, що знаходяться під впливом рухомого інерційного навантаження, присвячені численні дослідження. У роботах, в яких рішення рівнянь руху будується за допомогою методу двохвильового уявлення, в основному, розглядаються системи з рівномірно розподіленим по довжині масовим навантаженням. Водночас, наявність у ньому зосереджених вантажів істотно впливає на якісну картину і кількісні характеристики динамічних процесів досліджуваних об'єктів.

Побудуємо рішення диференціального рівняння поперечних коливань одномірного гнучкого робочого органу вантажотранспортуючого пристрою з рухомим розподіленим і зосередженим інерційним навантаженням в загальному вигляді. Після переходу до безрозмірних координат, часу і введення малого параметра [2], однорідне диференціальне рівняння, що описує поперечні коливання, і граничні умови, що описують відсутність поперечних переміщень в крайніх точках розглянутої ділянки каната між опорами, мають вигляд:

(1)

(2)

де x - безрозмірна координата ; r₀ - маса одиниці довжини гнучкого робочого органу (канату); M_k - маса k-го зосередженого вантажу; l₀ - довжина прольоту; - безрозмірна координата k-го вантажу, що визначає його положення в будь-який момент часу; x_k - безрозмірна координата, що визначає положення k-го вантажу в початковий момент часу; t - безрозмірний час; - дельта - функція Дірака; w(x,t) - поперечне відхилення; Т - натяг каната; w₀ - власна перша частота коливань однорідного каната довжиною l₀, закріпленого по кінцях; v - швидкість руху.

Запишемо рівняння ( 1 ) в більш зручному для вирішення вигляді:

(3)

де

(4)

Розв'язання лінійного диференціального рівняння другого порядку гіперболічного типу зі змішаною похідною (1) візьмемо у вигляді спеціального двочленного уявлення [3]

(5)

де j (x) і y(x) - функції, що задовольняють граничним умовам.

Продиференцюємо вираз (5) необхідну кількість разів по змінним x і t та підставимо в (3)

Враховуючи, що і - лінійно незалежні функції, прирівнюємо нулю в останній залежності множники при них

В отриманій для визначення функцій і системі диференціальних рівнянь друге рівняння помножимо на і складемо з першим рівнянням [4]

Отримане таким чином рівняння представимо так:

(6)

де

(7)

Функції і відповідно до (7) визначаються за такими формулами

(8)

На основі граничних умов (2) функції і задовольняють нульовим крайовим умовам

тому і функція теж підпорядкована нульовим граничним умовам

(9)

Підставимо в рівняння (6) вирази коефіцієнтів (4)

Використовуючи перетворення Лапласа перейдемо в останньому записі до зображення функції , враховуючи першу граничну умову (9). Зображення отримаємо у вигляді:

(10)

де

Переходячи в (10) назад до оригіналу, врахуємо, що

і позначивши , отримаємо вираз для форм коливань, (11)

Побудувавши рекурентні співвідношення та , після необхідних обчислень запишеться

(12)

де функції і знаходяться з побудованих рекурентних залежностей, записаних у компактній і зручній для застосування ЕОМ формі

(13)

Тут

На підставі другої граничної умови , одержимо характеристичне рівняння для визначення частот коливань

(14)

де

Визначивши корені рівняння (14) w_n одним з чисельних методів, після підстановки їх у (12), вираз для форм коливань буде

де

Враховуючи (7), повний розв'язок диференціального рівняння поперечних коливань канатів (1), що складається з суми частинних рішень, одержимо у вигляді

Отриманий розв'язок дозволяє визначати частоти, форми власних і "супроводжуючих" коливань системи, характер їх зміни в залежності від швидкості при будь-якій кількості зосереджених вантажів, значень їх мас і розташування між опорами.

Література.

1. Горошко О.А., Савин Г.Н. Введение в механику одномерных деформируемых тел переменной длины. К.: Наук. думка, 1971.

2. Каряченко Н.В. Дифференциальное уравнение поперечных колебаний канатов грузотранспортирующих устройств с подвижной инерционной нагрузкой в общем виде // Материалы IX научно-практической конференции «Дни науки-2013». Прага. –2013. – Т.34. – С. 21-24.

3. Горошко О.О., Дем’яненко А.Г., Кіба С.П. Двохвильові процеси в механічних системах. К.: Либідь, 1991.

4. Колесник И.А., Каряченко Н.В. Колебания механических звеньев устройств, несущих подвижную инерционную нагрузку // Польско-Украинский семинар “Теоретические основы строительства”. Дн-ск.: ПГАСУ. Ч. 2. С. 237-241.