д.ф.-м.н. Рысбайулы Б., к.т.н. Юничева Н.

Институт информационных и вычислительных технологий МОН РК,

Алматы, Казахстан

ПРИМЕНЕНИЕ АППАРАТА ИНТЕРВАЛЬНОГО АНАЛИЗА ДЛЯ УЧЕТА НЕТОЧНОСТИ ДАННЫХ ПРИ РЕШЕНИИ КОЭФФИЦИЕНТНОЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ В УРАВНЕНИИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

В настоящее время накоплен большой фактический материал по теплопроводным свойствам горных пород различных регионов, предложено множество вариантов полевых и лабораторных методов определения теплофизических свойств. Однако целый ряд важных вопросов в области изучения теплофизических свойств горных пород еще остается недостаточно изученным, что в первую очередь обусловлено тем, что мерзлые породы представляют собой сложные термодинамические метастабильные системы, сильно изменяющие под действием внутренних и внешних сил. Так, нет теоретических схем расчета коэффициента теплопроводности осадочных пород (снега), учитывающих изменение структуры при литификации их из осадков в монолитные горные породы (ледники), и наоборот, при образовании грунтов в процессе разрушения горных пород, которые способствовали бы интерпретации полученных данных с единых позиций.

На данный момент слабо налажен серийный выпуск стандартных приборов теплофизической промышленностью. Те немногочисленные приборы промышленного производства: ИТ-Х-400, ИТ-С-400 не подходят для работы с горными породами из-за чрезмерно малых размеров испытуемых образцов при которых не выполняется условие их квазиоднородности. Различные варианты индивидуальных разработок предложены только применительно к конкретным условиям. Поэтому необходимы систематизация и обобщение полученных экспериментальных данных, требуется создать универсальную методику расчета коэффициента теплопроводности горных пород.

Постановка задачи

Для разработки метода расчета коэффициента теплопроводности горного массива будем использовать закон переноса тепла в дисперсной среде, иначе называемый уравнением теплопроводности [1] следующего вида:

,

где – температура горной массы, – соответственно коэффициент теплоемкости, удельная масса и коэффициент теплопроводности горной породы.

Справедливость уравнения (1) неоднократно проверялась экспериментально [2].

В большинстве случаев практики целесообразно рассматривать одномерные уравнения теплопроводности. Если ось 0z направлена вверх, то одномерные уравнения теплопроводности записываются в следующем виде:

.

В дальнейшем поставленная задача решается методами интервального анализа. В этом случае для нуль содержащего интервала, при выполнении арифметических операций, создаются некоторые вычислительные трудности [3,4]. Для устранения подобных трудностей уравнение теплопроводности записывается в виде

(1)

где – абсолютная температура грунта в момент времени в точке . Нас интересует единственное решение уравнения (1), поэтому будем задавать начально-граничные условия. В нашем случае, начальное условие температуры горной породы задается в момент времени т.е.

, (2)

где – глубина горной породы.

На поверхности земли при и на нижней границе горной породы задаются следующие условия

, (3)

. (4)

Формула (3) выражает закон сохранения энергии на границе «воздух-грунт», а выражение (4) показывает изменения температуры на нижней границе области. – температура воздуха на поверхности земли.

Для нахождения требуется еще одно условие. Обычно задается измеренное значение температуры на поверхности земли [5]:

(5)

Известно, что источником изменения температуры горной породы (если нет внутренних источников тепла) является температура окружающей среды (воздуха). В силу погодных условий, климата, скорости ветра абсолютно точно измерить величины не представляется возможным. Поэтому измеренные величины являются нечеткими данными. В связи с этим, задача нахождения коэффициента теплопроводности горной породы решается методом интервальной математики. Отрезок разбиваем на равных частей с шагом а отрезок разбиваем на равных частей с шагом . В полученной дискретной области

изучается дискретная задача

(6)

(7)

(8)

. (9)

Кроме этого задается измеренное значение температуры горной массы на поверхности земли (5). Требуется определить коэффициент теплопроводности горной массы .

В системе (6) – (9) выражение – приближенное значение абсолютной температуры горной породы. Кроме того имеют место следующие включения

, ,

, .

В настоящей работе разработан метод решения задачи (5) - (9) и исследуется математические свойства разработанного метода.

Литература

1. Лыков А.В. теория теплопроводности. – М.: Высшая школа, 1967. – 599с.

2. Peter J. Williams, Michael W. Smith The Frozen Earth: Fundamentals of Geocryology. Publisher Cambridge University Press, Cambridge (hardbach). ISBN 0521365341. – 306 PP.

3. Жолен Л., Кифер М., Дидри О., Вальтер Э. Прикладной интервальный анализ. М.: Институт компьютерных исследований. 2007. - 467с.

4. Калмыков С.А., Шокин Ю.И., Юлдашев З.Х. Методы интервального анализа. – Новосиб.: Наука СО, 1986. –224с.

5. Rysbaiuly B. Mathematical properties of the iterative method to calculate the coefficient of thermal conductivity of multilaye ground. Wulfenia Journal, V. 20, Issue 12, 311-335 PP., Austria, 2013.