Гладкая кривая и ее определение в широком смысле

 

Айдос Е.Ж.

 Казахский технический университет имени К.И.Сатпаева, г.Алматы, Казахстан,

 e-mail: erkaraai@mail.ru

     

            В статье раскрывается теоретическая проблема известного определения гладкой кривой; вводится понятие «угловой функции» и с его помощью формулируется новое определение для широкого класса гладких кривых, в котором снято противоречие, присущее  известному определению понятия гладкой кривой.

            Приведем вышеназванное известное определение гладкой кривой.

           П-определение (см. напр., [1], §5.15 ). Функция  f называется гладкой на отрезке ,  если она имеет непрерывную производную  на этом отрезке.

           Вместе с тем, как показывает пример негладких в смысле приведенного определения функций  и   (см.Рис.1 и 2) с интуитивной точки зрения первая «негладкая» по причине наличия «угловой точки» графика функции  в то время как график функции  геометрически никак не относится к «негладкой». Конечно, здесь причина в том, что производная  в точке  не является непрерывной, и потому непопадает под П-определение. Можно рассуждать и так: функция  очевидным образом «гладкая», так что геометрически и обратная к ней функция  так же должна относиться к классу «гладких».

                                

             Введем понятие «угловой функции». Сначала дополняя с некоторыми для нас важными вопросами, приведем определение понятия «касательной» к кривой,  данного в   

             Пусть кривая Г задана уравнением  y=f(x), и некоторая ее точка. Возьмем точку  и проведем прямую S через точки и  (на Рис.3:  на Рис.4: ). Выберем направление прямой S так, чтобы угол b между положительным направлением оси Оx и направлением прямой S был бы острым:    Полученную таким образом, направленную прямую S назовем секущей,  а b - углом наклона секущей.  Чтобы показать, что секущая  проходит через точек с абсциссами  и   будем писать ее угол наклона в виде:  

              Если при  угол наклона  секущей стремится к конечному числу a, то секущая S стремится к направленной прямой Т,  у которой угол наклона равен a.    Поскольку полученная прямая Т проходит через точку с абсциссой  ее угол наклона обозначим в виде  

                                h

                                                    Рис.3                                                Рис.4

             Определение. Направленная прямая Т, проходящая через точкукривой Г:     называется касательной к кривой в этой точке, если ее угол наклона равен пределу угла наклона секущей S, проходящей через точеки  при   т.е.     

            Обратим внимание на то, что значения угла наклона секущей:   а значения угла наклона направленной прямой: . 

            Таким образом, если во всех точках отрезка  существует предел  то на этом отрезке определена функция  значения которой находятся на отрезке и потому назовем ее угловой функцией касательных.        

           Из определения ясно следует, что существование касательной к  графику Г функции y=f(x) в точке  равносильно существованию угловой функции

                                                                                               (1)

           Например, в точке А кривой, изображенной на Рис.5 нет касательной,  ибо ( т.е.  угловая функция в этой точке не  определена.  Но в точке А существуют левосторонная и правосторонная касательные с углами наклона, равными соответственно   и   (см. также, пример 1).

 

 Рис.5

          Так как угол наклона секущей равен     (см. Рис.3 и 4),  то учитывая непрерывность функции  в любой точке,  получим

                                                                                                  (2)                      

            Теперь приведем определение гладкой кривой с помощью угловой функции.

            К-Определение. Кривая, заданная уравнением  называется гладкой на отрезке если  определена и непрерывна угловая функция касательных на  

            Приведенные здесь определения касательной и гладкой кривой, позволяют получать решения многих теоретических проблемных вопросов математического анализа (см. ).  В данной статье мы продемонстрируем лишь решение вышеуказанной проблемы, вытекающей из П-определения с помощью К-определения.  

           Сначала выпишем равенство (2) в виде:  Отсюда следует, что если существует и непрерывна производная функции, то существует непрерывная угловая функция   (как композиция двух непрерывных функций). Поэтому, любая кривая, гладкая по П-определению будет гладкой и по К-определению.

           Но, обратное утверждение не верно.  Например, функция   - по

К-определению, гладкая, но по П-определению она не будет гладкой на отрезке .  Действительно, для нее существует угловая функция:  и  она непрерывна на отрезке Справедливость последнего утверждения достаточно показать лишь в точке  а для точек  непрерывность угловой функции следует из известного свойства элементарных функций. Имеем,  т.е.  функция  непрерывна и в точке   Следовательно, по К-определению, данная функция на отрезке  - гладкая. А то что, она не  гладкая по П-определению, следует как отмечено выше, из разрывности производной функции:    в точке    

         Пример1. На отрезке  функция   - не гладкая, так как, в точке

 для нее не  определена угловая функция. Действительно, (см.(1) и (2))

             

         В этой точке существуют лишь односторонние касательные с углами наклона, соответственно  и     

         Пример 2. Функция  на отрезке  - не гладкая, поскольку

для нее хотя определена угловая функция, равная  но

она не является непрерывной в точке   (функция   в точке не имеет предела).

            Мы видели, что диапозон применяемости К-определения достаточно широкий,  у него отсутствует теоретические проблемы, подобные в П-определении. К-определение является естественным и полноценным для понятия гладкой кривой, и потому его можно предложить для широкого пользования в математике и в других отраслях наук, применяющих математику.

          Основные причины наличия теоретической проблемы известного определения гладкой кривой, а также другие проблемные вопросы математического анализа и их решения  смотрите в и  

 

 

  1. С.М.Никольский, Курс математического анализа, т.1, «Наука», 1983;

2.      Я.С.Бугров, С.М.Никольский, Дифференциальное и интгральное исчисление, «Наука», 1980;

3.      Е.Ж.Айдос, Жоғары математика, 2-бөлім, «Бастау», 2008;

  1. Aydos E.Zh.  About determination Mathematical Concept Through  

     characters.  // Of the third Congress of the world Mathematical society of Turkic 

     Countries, June 30 - July 4, 2009  //  Третий конгресс Всемирного математического 

     общества тюркоязычных стран,  30 июня – 4 июля 2009 года.