Ленюк М. П.

 

Чернівецький факультет НТУ „ХПІ”

 

ГІБРИДНІ ІНТЕГРАЛЬНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ ФУР’Є – БЕССЕЛЯ –ЕЙЛЕРА НА ДЕКАРТОВІЙ ОСІ

        

Запровадимо інтегральні перетворення, породжене на множині

 гібридним диференціальним оператором (ГДО).

                 (1)

         У рівності (1)  - одинична функція Гевісайда [1];  - диференціальний оператор Фур’є [2]; -  диференціальний оператор Бесселя [3],   диференціальний оператор Ейлера [2]; .

Означення. Областю визначення ГДО  назвемо множину вектор-функцій з такими властивостями: 1) існують такі числа  та , що мають місце рівності

                                         (2)

2) функції  задовiльняють умови спряження

                        (3)

         В подальшому вважаємо, що виконані умови на коефіцієнти:

         Оскільки ГДО  самоспряжений і має дві особливі точки та , то його спектр дійсний та неперервний [4]. Можна вважати, що спектральний параметр . Йому відповідає комплекснозначна спектральна вектор-функція: 

    (4)

При цьому функції

 де , повинні задовольняти відповідно диференціальні рівняння

                                   (5)

та умови спряження (3);

         Фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Фур’є  складають функції  та [2]; фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Бесселя  складають функції  та [3]; фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Ейлера складають функції  та [2].

         Якщо, маючи фундаментальну систему розв’язків, покласти

             (6)

то умови спряження (3) дають вісім алгебраїчних рівнянь для визначення 12-ти невідомих . Це явно недостатньо для побудови спектральної вектор-функції методом спектральної задачі Штурма-Ліувілля.

         Скористаємось методом дельта-подібної послідовності – ядро Коші як фундаментальна матриця розв’язків задачі Коші для сепаратної системи диференціальних рівнянь теплопровідності параболічного типу, породженої ГДО .

         Побудуємо обмежений в області  розв’язок системи диференціальних рівнянь теплопровідності параболічного типу [5]

                                 (7)

   

за початковими умовами

                                            (8)

та умовами спряження

          (9)

         Припустимо, що вектор-функція є оригіналом за Лапласом стосовно  [6]. В зображеннях за Лапласом задачі (7) – (9) відповідає крайова задача: побудувати обмежений на множині  розв’язок  сепаратної системи диференціальних рівнянь Фур’є, Бесселя та Ейлера для модифікованих функцій

                                  (10)

за умовами спряження

                    (11)

         Фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Фур’є  утворюють функції та [2]; фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Бесселя  утворюють модифіковані  функції Бесселя  та [3]; фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Ейлера  утворюють функції та  [2];  - фіксуємо таку вітку.

         Наявність фундаментальної системи розв’язків дозволяє будувати розв’язок крайової задачі (10), (11) методом функцій Коші [1,2]:

                                         (12)

.

         У рівностях (12)  - функції Коші:

                          (13)

      (14)

       (15)

Умови спряження (11) для визначення величини  та  дають алгебраїчну систему з чотирьох рівнянь:

                      (16)

         У системі (16) беруть участь функції

,

та  символ Кронекера ()

      Введемо до розгляду функції:

         Припустимо, що виконана умова однозначної розв’язності даної параболічної задачі: для  з , де  - абсциса збіжності інтеграла Лапласа, та  визначник алгебраїчної системи (16)

                          (17)

         У результаті однозначної розв’язності алгебраїчної системи (16) й підстановки отриманих значень  у рівності (12) маємо єдиний розв’язок крайової задачі (10), (11): 

                (18)

У рівностях (18) беруть участь функції впливу:

 

         

    

                                                              

                                                    (19)

Повертаючись в рівностях (18) до оригіналу, одержимо єдиний розв’язок параболічної задачі (7) – (9) :

           (20)                

    У рівностях (20) за означенням [6]

                            (21)

Особливими точками функцій  є точки галуження  та . Нехай . Покладемо . Тоді при  маємо:  Звідси випливає, що

    Якщо скористатись методом контурного інтеграла, лемою Жордана й теоремою Коші [6], то формули (21) можна перетворити до розрахункових:

                (22)

Тут  означає уявну частину від виразу .

На підставі формул обходу [7]

знаходимо співвідношення:

         У цих рівностях беруть участь функції:

,

.

Після низки елементарних перетворень згідно формули (22) маємо:

                   (23)

 

                     (24)

            (25)

Якщо вимагати для  виконання рівностей:

      (*)

то для визначення величин та  (формули (6), ) одержимо алгебраїчну систему із 11-ти рівнянь:

         (26)         

         Із алгебраїчної системи (26) при  знаходимо, що

              (27)

        

      Згідно формули (6) компоненти комплекснозначної спектральної функції визначені:

        (28)

З цим комплексно значна вектор-функція  визначена.

Введемо до розгляду вагову функцію

У формулах (*)  означає дійсну частину виразу , а риска зверху – комплексне спряження.

Розв’язок параболічної задачі  (20) набуде вигляду:

                (29)

В силу початкових умов отримуємо інтегральні зображення:

                    

Звідси маємо інтегральне зображення вектор-функції

:

                   (30)

         Тут бере участь вагова функція

         Інтегральне зображення (30) визначає пряме  та обернене  гібридне інтегральне перетворення (ГІП), породжене на декартовій осі ГДО [8]:

                                                      (31)

                                     (32)

         В основі застосування запровадженого формулами (31), (32) ГІП знаходиться основна тотожність інтегрального перетворення ГДО .

Теорема (про основну тотожність). Якщо вектор-функція  неперервна на множині , а функції  задовольняють умови обмеженості

 та умови спряження

,

 то справджується основна тотожність ГІП ГДО  :

                                 (33)

У рівності (33) прийняті позначення:

         Застосування запровадженого формулами (31), (32) ГІП Фур’є– Бесселя – Ейлера на декартовій осі до відповідних задач математичної фізики подамо в іншій роботі.

 

Література:

      1. Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс.- М.: Наука, 1965.-328с.

      2.Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. - М.:Физматгиз, 1959.-468с.

      3.Ленюк М.П. Исследование основных краевых задач для диссипативного волнового уравнения Бесселя. – Киев, 1983. – 62с. – (Препринт / АН УССР. Ин-т математики; 83.3).     

      4. Ленюк М.П., Шинкарик М.І. Гібридні інтегральні перетворення (Фур’є, Бесселя, Лежандра). Частина1.- Тернопіль: Економ.думка, 2004.-368с.

      5. Тихонов А.Н., Самарський А.А. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1972. – 735с.

      6. Лавренеьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. – М.: Наука, 1987. – 688с.

      7. Градштейн  И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. – М.: Наука, 1971. – 1108с.

      8. Ленюк М.П. Гібридні інтегральні перетворення  типу Ейлера – (Фур’є, Бесселя).- Чернівці: Прут, 2009.-76с.