Мустафаев А.П., Буркенов Н.С.

Семипалатинский государственный университет имени Шакарима

Метод интегрирования некоторых дифференциальных уравнений первого порядка

Многие задачи физики приводят к разысканию той или иной функции нескольких переменных. Для ее определения составляет дифференциальное уравнения в частных производных которому должна удовлетворять искомая функция.

Наряду с общими методами, применяемыми при решения уравнений с частными производными, существуют для каждого типа уравнений и некоторые специфические методы.

Например, чтобы строить решения дифференциальных уравнений в частных производных с помощью специальных рядов требуется очень сильное ограничение; данные задачи должны быть аналитическими. Это исключает многие задачи заслуживающие рассмотрения.

Однако для дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка можно построить более прямую и полную теорию интегрирования при очень слабых предложениях относительно непрерывности и дифференцируемости. Самым важным фактом теории дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка является эквивалентность задач интегрирование дифференциального уравнения в частных производных и характеристической системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Другими словами, интегрирования дифференциального уравнения с частными производными первого порядка можно свести к интегрированию соответствующей характеристической системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

В этой работе проиллюстрируем методом нахождения общих решений дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка несколькими примерами.

1) (1)

характеристические уравнения имеет вид

,

,

где и первообразные соответственно функции и .

В характеристических переменных уравнение (1) записывается в виде интегрируя, которое находим

где - произвольно-непрерывно дифференцируемая функция. Например. Если то общее решение дифференциального уравнения

имеет вид

.

2) К уравнению вида (1) легко приводится уравнение вида

.

3) Аналогично, общее решение дифференциального уравнения

явно задается соотношением

.

4) Дифференциальное уравнение с частными производными первого порядка

можно преобразовать в уравнение

,

с помощью замены переменных

,

где обратная функция функции т.е. .

Поэтому в соответствие с теорией линейных уравнений, его решения есть

.

4) Аналогично, общее решение дифференциального уравнения

для любой функции

есть

.

В правильности найденных решений легко можно убедиться непосредственно подстановкой их в уравнения.

Полученные решения позволяют легко найти частные решения некоторых кривых задач для рассматриваемых видов уравнений частных производных первого порядка.

Литература.

1. Р.Курант и Д.Гильберт Методы математической физики, Том II, М.,«Мир» 1964 г.

2. Владимиров В.С., Михайлов В.П., Вашарин А.А., Каримова Х.Х., Сидоров Ю.В, Шабунин М.И. Сборник задач по уравнениям математической физики – 2-е издание, М., «Наука» 1982 г.