1.Дифференциальные и интегральные уравнения

 

Ж.Б. Муканов

Евразийский национальный университет им. Л.Н.Гумилева, г.Астана

О НЕОБХОДИМОМ УСЛОВИИ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ СО СТЕПЕННЫМ ВЕСОМ ФУНКЦИИ, ПРЕДСТАВЛЕННОЙ МОНОТОННО УБЫВАЮЩИМ  ОБОБЩЕННЫМ МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫМ ПРЕОБРАЗОВАНИЕМ

 

Пусть

,  где   ,

- произвольная бесконечная в обе стороны последовательность натуральных чисел, а

,

где  ,  ,  ,  , соответствующая ей группа с групповой операцией .

Рассмотрим группу , определяемую последовательностью , симметричной последовательности , т.е.

,  где  .

Группу  образуют последовательности

,

где  ,  ,  .

Для каждой пары  определим функцию двух переменных :

                                    .                              (1)

Множество таких функций назовем обобщенной мультипликативной системой.

Введем обозначения:

,  ,  , ..

Учитывая симметричность  имеем

,  ,  ,  .

Каждую из групп  и  отобразим на действительную полуось. Для этого последовательности   поставим в соответствие ряд

                                           ,                                        (2)

а последовательности  - ряд

                                           .                                       (3)

Здесь  означает целую часть числа , а  - дробную часть числа .

Соответствие между лучом  и группой  (а также между  и группой ) будет взаимно-однозначным, если каждая -ично- рациональная (соответственно -ично - рациональная) точка считается дважды.

Таким образом, построенная система функций  является континуальным аналогом системы Прайса [1].

Более подробные сведения о континуальных аналогах  изложены в монографии [1].

Двумерные системы функций  определим равенством

.

Обозначим через  - пространство измеримых на  по мере Лебега функций  с конечной нормой

.

Обобщенное мультипликативное преобразование Фурье функции   определяется равенством

.

Для функции  прямым мультипликативным - преобразованием назовем функцию

где  .

В данной работе исследуются вопросы –интегрируемости (1<p<∞) со степенным весом функции двух переменных, представленной через монотонно убывающее обобщенное мультипликативное преобразование Фурье.

Сформулируем определения.

    Пусть  а ,  -  двумерные векторы, . Обозначим через = множество  всех двумерных векторов, координаты которых равны 0 или 1. Через а обозначим вектор, все координаты которого равны  (аналогично вектор b). Тогда

Если векторы  и вектор , то будем говорить, что  в том случае, когда =0 при  и  при, имеем  

Говорят, что функция  монотонна по Харди, т.е. , где , и , (см.[2]), если  и для любого ненулевого вектора  выражение

либо неотрицательно при всех  либо неположительно при таких

Ядро Дирихле для двумерного случая имеет вид 

                                                                  (4)

В следующей теореме приводится достаточное условие интегрируемости со степенным весом функции . При этом условие выражено в терминах обобщенных мультипликативных преобразований.

Теорема 1. Пусть 1<p<∞, , где, существуют частные производные ,  и , , . Тогда, если

,

то

                                ,                 (5)                     

Для доказательства приведенной теоремы нам понадобятся следующие вспомогательные утверждения.

Лемма А. (см.[3]). Пусть обобщенное ядро Дирихле   определено равенством (4). Тогда

а) Для любых   и m, n  Z   имеет место равенство

,

где - характеристическая функция .

б)     для   , 

Лемма 1. Если ,  где , существуют частные производные ,  и

,  m,nZ+ ,

то    и   имеет место неравенство

                                                                             (6)

Лемма 1 доказывается с помощью применения формулы интегрирования по частям и леммы А.

Лемма B. (Moricz  F., [4]). Пусть ,   функция  ≥0 определена для   и

Тогда, если

то

и

Доказательство теоремы 1.

Так как

и

,

то на основании неравенства Гельдера имеем

Следовательно,   и согласно

и (4), а также леммы А

=

   =,         (7)                                     

где

По  лемме B

                                        (8)

С другой стороны в силу монотонности  и оценки (7) имеем, что

.

Так как по условию теоремы и учитывая  (8), то

 

.

Теорема 1 доказана.

 

Литература

1.     Голубов Б.И., Ефимов А.В., Скворцов В.А. Ряды и преобразования Уолша. Теория и применения. - М.:Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987.-344 с.

2.     Дьяченко М.И. Кусочно монотонные функции многих переменных и теорема Харди–Литтлвуда // Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1991.– Т.55, № 6.– С . 1156–1170.

3.     Голубов Б.И. Элементы двоичного анализа. М.:МГУП, 2005. – 204 с.

4.     Moricz F. On double cosine, sine, and Walsh series with monotone coefficients. // Proc. Amer. Math. Soc.– 1990.– V.109. № 2. P. 417 – 425.