Аубакирова З.Ж., Акишев Г.

Карагандинский государственный университет

имени Е.А.Букетова, Казахстан

Условия абсолютной сходимости лакунарных рядов Фурье

Пусть . Через  обозначается совокупность всех измеримых по Лебегу, - периодических функций, для которых ([1])

 - коэффициент Фурье функции  по системе .

Рассматривается лакунарный ряд

 

где  - строго возрастающая последовательность натуральных чисел ([1]).

Пусть измеримое множество   положительной меры в . Для заданной функции  определим модуль непрерывности 2-го порядка

.

Определение ([2]). Строго возрастающая последовательность  натуральных чисел, удовлетворяет условию : если  конечен, где  обозначает число различных представлений натурального числа  в виде   .

Рассматривается следующий вопрос: при каких условиях, наложенных на функцию , определенную на  и числовую последовательность  можно утверждать, что для функции  ряд

?                                       (2)

Я.Р. Патадиа и В.М. Шах ([3]) исследовали следующий вопрос сходимости лакунарного ряда (2) в случае , а Н. Огата ([2]) обобщил их результаты на возрастающую вогнутую функцию  

Нами доказаны следующие утверждения.

Лемма 1. Пусть ,~. Функция  определена для , возрастает и вогнута. Тогда для любой положительной неубывающей последовательности  следующие два условия эквивалентны:

Эта лемма доказывается как лемма 2 в [2].

Теорема 1. Пусть ~. Функция  определена для , возрастает и вогнута и  возрастающая последовательность для любого  удовлетворяет условию

                      (3)

Если

то

Доказательство. Пусть  Воспользуемся неравенством Иенсена       ([1. С.899]). Тогда

  (4)

Применяя неравенство Гёльдера, получим

Тогда из (4) будем иметь

    (5)

В условии (3) полагая ,  и применяя неравенство (3) из (5) получим

 (6)

По условию теоремы  возрастающая последовательность, поэтому

                        (7)

Из неравенства (6) и (7) получим

Воспользовавшись леммой 3 ([2; лемма 2]) и леммой 1 имеем

Следовательно,

Теорема доказана.

 

Литература:

1. Бари Н.К., Тригонометрические ряды, М., Физматгиз, 1961.

2. Ogata N., On the absolute convergence of lacunary Fourier series.//                                                Math.Japanica. – 1999. - 49. - р. 241-245.

3. Patadia J.R. and Shah V.M., On the absolute convergence of lacunary Fourier series. // J.Indian Math.Soc. - 1980. – 44. - р. 267-273.