Математика/Прикладная математика

ӘОЖ 378.016.026.7:51(574)

Профессор кафедры математического анализа алгебры и геометрии

К.И. Канлыбаев,

Профессор кафедры математического анализа алгебры и геометрии

Е.Б. Шалбаев

Казахский национальный педагогический университет им. Абая

Қазақстан Республикасы, Алматы қ.

МЕТОДИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ВВЕДЕНИЯ ПРЕДЕЛЬНОГО ПЕРЕХОДА В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

Краткое содержание

В статье рассматриваются вопросы введения понятия предметного перехода в средней школе. На основе геометрических задач, связанных с вычислением площади плоских фигур, дается подход к определению предела переменной величины. На наш взгляд это поможет учащимся в освоении университетского курса математического анализа.

Ключевое слово: «Предел функции», «Стремится».

Понятие предельного перехода является основным в курсе математического анализа. Изучение теории предела последовательность, а затем предела функции и и непрерывности, составляют ту часть анализа, которая, еще со времен Ньютона и Лейбница, ношла название анализа бесконечно малых. Без глубокого усвоения этого раздела математического анализа, студенты будут испытывать затруднения при изучении дифференциального и интегрального исчислений функций одной, а затем и многих предметных.

Выпускники средней школы, в основной своей массе, знают производную и первообразную некоторых элементарных функций, но доказать не могут, так как имеют только интуитивное представление о предельном переходе. Средняя школа относятся поверхность к таким вопросам, вполне законно, считая, что подробное изложение их есть задача высшей школы. Уже в элементарной математике мы вынуждены прибегать к понятно предела. Так, при вычислении длины окружности мы ее рассматриваем как предел периметров вписанных в нее правильных многоугольников. Точно также, чтобы выписать площадь круга, мы и ее рассматриваем как предел площадей вписанных или описанных многоугольников. Далее, в стереометрии при изучении объема и площади поверхности конуса, цилиндра, шара, мы встречаемся с понятием предела. Это понятие необходимо для построения теоретической механики и физики.

На наш взгляд лучше всего для понимания предельного перехода подходят геометрические задачи, а именно задачи о вычислении площадей различных геометрических фигур. В данной статье рассмотрены такого рода задачи.

1. Площадь трапеции

А

А₁

А₂

А_k

А_k+1

B

a x₁ x₂ x_k x_k+1 x_n-1 b x

y

o

h h h h

Решим такую задачу:

Найти метод для вычисления площади фигуры, ограниченной: снизу отрезком а, b, сверху кривой АВ и сторонами аА и bB. такая фигура называется криволинейной трапецией. поступим так: разделим основание ав на n равных частей, которые обозначим х₁, х₂, …х_n-1.

Через h обозначим длину равных частей, очевидно (1)

Из (1) ясно, что чем больше n, тем меньше h. Следовательно, если , то , что записывают так: . Будем пока считать n не переменным, а произвольно взятым целым числом, представляя его очень большим. В каждой из точек делятся восставим перпендикуляр к основанию. Тогда вся трапеция разделится на n частей, которые мы будем называть полосками. Площади полосок обозначим: а площадь всей трапеции через Тогда, ясно .

Если бы мы сумеем вычислить площадь каждой полоски, то мы тем самым вычислили бы и площадь всей трапеции. Однако, каждая полоска представляет собой криволинейную трапецию и найти ее площадь также трудно.

Понятие предела дает возможность избежать вычисления площадей самих полосок через замену каждой полоски некоторым соответствующим ей прямоугольником.

y

x

O x_k x_k+1

B_k

A_k+1

B_k+1

A_k

Рассмотрим какую-нибудь полоску с основание .

Очевидно, что для каждой такой полоски можно построить два прямоугольника: один внутренний , другой выступающий . Площади внутренних прямоугольников обозначим через а их сумму – через Р: .

Аналогично, площади выступающих прямоугольников обозначим через , а их сумму – через : , очевидно, (2)

Поэтому, если мы будем знать и , то мы хотя бы будем знать в каких границах заключена наша площадь. Естественно поставить такой вопрос: если принять и , то какая ошибка будет сделана нами при этом. Так как , то .

Следовательно, прямая , мы делаем ошибку, меньшую разности .

y

x

O a x₁ b

В

А₁

A_k

Выясняется замечательный факт: чтобы вычислить эту разность, совершенно нет никакой необходимости вычислять и в отдельности.

Заштрихуем первый внутренний прямоугольник и последний выступающий прямоугольник . Основания всех прямоугольников равны одной и той же величине . Легко видеть, что первый выступающий прямоугольник и второй внутренний имеют одну и ту же высоту , поэтому . Далее, имеем:

. Поэтому: [2]

Как мы сказали, чтобы знать разность , нет необходимости вычислять и . Эта разность равна разности между последним выступающим прямоугольником и первым внутренним. Все предыдущие рассуждения справедливы, каково бы ни было n. Геометрически ясно, что чем больше n, тем меньше площади и , следовательно, их разность становится очень маленькой величиной, т.е. . Но, как мы видем, , поэтому заключаем, что и .

Таким образом, имеет место следующая теорема:

Площадь трапеции равна пределу суммы внутренних прямоугольников, а так же пределу суммы выступающих прямоугольников при условии, что число равных частей, на которые при построении прямоугольников делится основание трапеции бесконечно возрастает. Приведем примеры на применение этой теоремы:

Площадь параболы

На параболе отметим точку М, координаты, которой обозначим через а и b.

y

O x₁ x₂ x₃ a x

b

M

Задача заключается в нахождении площади фигуры Ома. Разделим отрезок Оа точками на n равных частей. Если h – длина каждой части, то:

. Во всех точках деления восставим ординаты, которые обозначим через , и построим выступающие прямоугольники. Сумма их площадей равна [1].

Так как .

Следовательно, (3)

Воспользуемся равенством .

Заменяя в нем а последовательно на 1, 2, …, n, получим:

……………………………

Складывая по столбцам, получим

.

Отсюда . (4)

Читатель знакомый с методом математической индукции, легко докажет равенство (4)

Таким образом (5)

и при достаточно большом n , т.е. используя предельный переход, а именно при , получим, что искомая площадь .

Площадь, ограничения кривой

Если , то функция изображается кривой, которая лежит выше от ox и монотонно возрастает слева направо. Напомним, что функция называется возрастающей, если большим значениям аргумента соответствуют больше значения функции, т.е. из следует . Пусть - любые два действительных числа. Всегда существуют рациональные числа и такое, что . По определению показательной функции, имеем .

y

O c x₁ x₂ x_n-1 b x x

y_n-1

B

1

y₁

y₂

A

y₀

y_n

Из курса средней школы известно, что при , показательная функция возрастает, т.е. при следует . Используя свойства транзитивности знаков < и =, получим < . Заметим, что если , то , где . Поэтому функцию при можно определить как функцию при .

Отметим на этой кривой произвольно две точки А и В с абсциссами С и b и будем вычислять площади трапеции с ABb. Делим основание на n равных частей, точками длину каждой части обозначаем через h; ординаты соответственно обозначаем: . Строим внутренние прямоугольники. Пусть - сумма их площадей. Имеем: , так как , то

,

[3].

Очевидно, как и в первом примере, чтобы получить такое значение искомой площади, нужно рассмотреть значение , когда уменьшается, т.е. при . Таким образом, задача свелась к нахождению предела выражения при (т.е. когда бесконечно уменьшается).

Положим . Ясно, что при и . Отсюда, имеем . Логарифмируя это равенство по основанию получим

. Поэтому = = . В дальнейшем мы поможем, что выражение при стремится к числу е, названному в честь Непера, взявшего это число за основание своей таблицы логарифмов. Таким образом, искомая площадь равна . Из формулы видно, что она не зависит от , поэтому полагают .

Окончательно, получим следующий результат: Площадь трапеции, ограниченной осью ox, кривой , прямыми x=a и x=b, определяется формулой

, где число Непера, логарифм по этому основанию называется натуральным. Решение очень многих, притом самых основных задач требует знания предела выражения при , или при [4]. То есть знания числа Непера, хотя оно само несоизмеримо. Рассмотренные примеры позволяют сделать вывод: площадь трапеции равна как пределу суммы внутренних прямоугольников, так и пределу суммы внутренних прямоугольников, так и пределу суммы выступающих прямоугольников.

Основная задача такого рода примеров, не только геометрических, подготовка будущих студентов физико-математических факультетов к быстрому усвоению теории предела на уже более высоком научном уровне, ибо, как писал Конфуций: «Учиться и не размышлять – напрасно терять время, размышлять и не учиться - губительно».

Литература:

1. Кудрявцев Л.Д. Математический анализ. - М., 1988.

2. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Б.Х. Математический анализ. - М., Наука, 1978.

3. Темиргалиев Н. Математикалық анализ. - Алматы. Мектеп, 1987.

4. Шалбаев Е.Б. Бакалавриатта математикалық талдау курсын оқушылардың әдістемелік аспектілері // Вестник КазНПУ им.Абая. - №1(33). - 2011.