ӘОЖ 512.17

БУЛЬ АЛГЕБРАЛАРЫНЫҢ АРАСЫНДАҒЫ НЕГІЗГІ СӘЙКЕСТІКТЕР

Қ. ЖЕТПІСОВ, Қ.С. КУТИМОВ, Ә.Б. БАКЕНОВА.

Е.А.Бөкетов атындағы Қарағанды мемлекеттік

университеті, Қарағанды, Қазақстан

Буль құрылымбарының арасындағы сәйкестендіруабстракциясы. Ғылыми абстракциялардың қалыптасу әдісі адамның танымдық іс-әрекетінің жалпы бір әдісі болып табылады. Математикалық танымның өте бір кең тараған түріне сәйкестендіру абстракциясы жатады. Жалпы алғанда, инутивті-мағыналық деңгейде, сәйкестендіру абстракциясы математикада келесі сызба бойынша іске асады.

Біртекті объектілер жиынын қарастыруда олардың әртүрлі жалпы қасиеттері айқындалады. Бұл қасиеттерді таңдау зерттеу мақсатына сәйкес жүргізіледі.

Бұл жағдайда, қарастырылып отырған жиынын объектілерінің арасындағы маңызды емес қасиеттерге көңіл аудармай, олардың маңызды ортақ қасиеттері зерттеледі. Осыдан соң ерекшеліп алынған қасиеттердің көмегімен ажыратуға болмайтын жиын объектілері сәйкестендіріледі.

Өзара сәйкестендірілген объектілердің әрбір класы жаңа табиғатты объект ретінде формаль тілдің белгілі бір термині немесе таңбасы арқылы белгіленеді. Ол әрекетте, ерекшеленген қасиеттер жиынтығы бар осы кластың барлық объектілерінің иелік өлшемінің негізі (бейнесі) болады. Біртекті объектілер жиынын қарастырғанда ерекшеленген қасиеттер жаңа үғымдардың мағынасының кері бейнесін кескіндейді және олар сәйкестендірілген элементтер кластарымен және олардың көлемімен одақтастырылады.

Сәйкестендіру абстракциясын қолдану нәтижесінде ерекшеленген математика ұғымдарына (объектілеріне) қатысты, «олар абстракция әдісін қолдану нәтижесінде алынған» – деп айтады [2].

Буль алгебралары класында сәйкестендіру абстракциясын қолдану іс-әрекеті идеалдардың көмегімен іске асырылатын болса, ал жалпы Буль құрылымдарында – бқл Буль алгебралары, Буль торлары, Буль сақииналары арасындағы сәйкестендіру (көшіру) абстракциясы [3].

1. Буль алгебрасы [1] Ø жиынындағы теоретико-жиындық амалдарға қатысты тұйықталғын алгебралық жүйе.

2. Буль торы [1] алгебралық жүйесі түрінде анықталады.

– бөліктік реттік қатынасы А жиынында анықталған.

Егер – Буль алгебрасы болса, онда – Буль торы болады.

Сөйлем 1. а) Буль торынан Буль алгебрасына

б) Буль алгебрасынан Буль торына көшу орынды.

3. Бірлік элементті Буль сақинасы [1] деп кез келген үшін теңдігі орындалатын коммутативті және ассоциативті сақинаны айтады.

Буль сақинасы бойынша

жүйесін анықтайық. Мұндағы қатынасы келесі ережемен анықталған:

.

Сөйлем 2. алгебралық жүйесі Буль торы болады. Айталық, Буль торы болсын. Онда, Буль сақинасын анықтауға болады.

Сөйлем 3. а) Буль сақинасынан Буль торына;

б) Буль торынан Буль сақинасына көшу орынды.

Теорема. Кез келген Буль сақинасы мен кез келген Буль торы үшін теңдігі орындалады сол уақытта тек қана сол уақытта, егер болса.

Салдар. а) Егер Буль сақинасынан Буль торына көшіп, одан соң Буль торы бойынша Буль сақинасын құрсақ, онда қайтадан алғашқы Буль сақинасын аламыз, яғни ;

б) Егер буль торы бойынша Буль сақинасына көшіп, одан соң Буль сақинасы бойынша Буль торын құрсақ, онда қайтадан алғашқы Буль торын аламыз, яғни .

Қорытынды. Буль алгебралары, Буль торлары және Буль сақиналары сипаттау әдістері әртүрлә болатын бір ғана абстрактілі объектінің симантикалық баламалары болады деп айтуға болады.

Буль алгебраларының көріністері туралы Стоун теоремасы. Бос емес жиынның ішкі жиындарының Буль алгебрасында теоретикалық-жиындық интуицияны көріністің көрнекілігіне негіздеп, қолдану мүмкін болғандықтан, оны оқып-зерттеу анағұрлым жеңіл.

Бұл мақалада кез келген Буль алгебрасы жиындар алгебрасының көмегімен іске асады, яяғни Буль алгебраларының көріністері туралы М.Стоунға тиісті негізгі теорема дәлелденеді. Мағыналық жағынан алғанда бұл теореманы тұжырымы төмендегідей:

Теорема 1. Кез келген Буль алгебрасы, изоморфизмге дейінгі дәлдікпен алғанда, кейбір бос емес жиынның барлық ішкі жиындарының Буль алгебрасының ішкі алгебрасы болады, яғни жиындар алгебрасы.

Бұл теореманы дәлелдеу жиындарға негізгі шешуге тиісті сұрақ изоморфизмге дейінгі дәлдәкпен алғанда В алгебрасынмен беттесетін кейбір ішкі жиындар алгебрасы бар М жиынның (берілген В Буль алгебрасы бойынша) құру.

Ізделініп отырған М жиынның орнына В Буль алгебрасының барлық максималды идеалдар жиынын алуға болатын көрінеді.

В Буль алгебрасының өзіндік идеалы I:

1) максималды деп аталады, егер осы алгебраның I идеалы кеңейтетін ешқандай өзіндік I’ идеалы болмаса, яғни ;

2) жай деп аталады, егер кез келген элементі үшін не , не болса.

Байқайтынымыз, қатынасының теоретикалық-жиындық негізі тіліндегі «максималды идеал» ұғымы Буль алгебрасының негізгі де, туынды да қатынасы емес. Осыған байланысты, «жай идеал» үғымы максималды идеалдардың «ішкі» сипаттамасы үшін енгізіледі. Себебі келесі теорема орынды:

Теорема 2. В Буль алгебрасының идеалы I максималды болады, сонда тек сонда, егер ол жай идеал болса [3].

Баяндау толық болуы үшін осы теореманың дәлелдеуін келтірейік.

Жеткілікті түсінікті, себебі кез келген жай идеал максималды болады. Шындығында, айталық, В алгебрасының жай идеалы I берілсін. Бірақ осыған қарамастан, I’ өзіндік идеалы табылып, қамтылуы өзіндікболғандықтан, онда а элементі табылып, _{болады, яғни және .}

_{I идеалының жай болуына байланысы бұдан шығатын салдар , яғни, қамтылуын ескере отырып, . Бірақ , себебі жиыны амалына қатысты тұйықталған.}

_{Кез келген элементі үшін болуы себепті, онда . Сонымен, өзіндік идеал болмай шықты, ал бұл біздің жасаған жорамалымызға қарама-қайшы.}

_{Теореманың қажетті шартын де кері жору әдісін қолданамыз. Айталық, В алгебрасының максималды I бар болсын және ол жай идеал болмасын. Онда элементі табылып, және болады.}

_{В жиынының келесі ішкі жиындарын қарастырайық:}

_және ; (1)

_{және .} (2)

_{және ішкі жиындарының В Буль алгебрасының идеалдары болатындығыноңай тексеруге болады.}

_{(1) және (2) амалдар және болатынын көрсетеді. Шын мәнісінде бұл қамтылу өзіндік, себебі және . Бұдан I идеалының максималдығынан шығатын салдар: және . Сондықтан және жиындарының (1) және (2) анықтамаларына сәйкес, онда элементтері табылып, және болады. Ал бірақ негізгі анықтама бойынша}

_{. (3)}

Біздің тұжырымымыз бойынша

(4)

(3) және (4) теңдіктер тізбегінің сол жақтары бірдей болғандықтан, шығатын қорытынды _{. Бірақ сол себепті , яғни , ал онда болар еді. Бұл I – өзіндік идеал деген тұжырымға қарама-қайшы. В Буль алгебрасының барлық максималды идеалдар жиынын I(B) арқылы}

_{B(I(B))=<B(I(B)):U;∩;Ø;I(B)>}

_{Буль алгебрасын қарастырайық (I(B) жиынының барлық ішкі жиындарының жиыны).}

Дәлелдеудің келесі кезеңі алғашқы В алгебрасымен изоморфизмге дейінгі дәлдәкпен беттесетін осы алгебраның ішкі алгебрасын табу.

Басқаша айтқанда, В алгебрасының алгебрасына изоморфты қамтылуы болатын ең болмағанда бір φ бейнелеуін анықтау. Бұл жағдайда В алгебрасының негізгі В жиынынның әрбір а элементінің бейнесі алгебрасының негізгі жиынының элементі болатын оның кейбір максималды идеалдар жиыны болуы керек және бұл жиын а элементімен бірмәнді анықталуға тиісті. Бұл талаптыәрбір а элементіне В алгебрасының φ бейнесі ретінде осы элементті қамтымайтын барлық максималды идеалдар жиынын алу арқылы қамтамасыз етуге болады.

Осыған байланысты алдын ала келесі тұжырымды дәлелдеу керек. Кез келген 0-ден өзгеше элементі үшін мұндай идеалдар жиыны бос емес.

_{Сонымен, В алгебрасының кез келген нольден өзгеше элементі үшін осы элементті қамтымайтын максималды I идеаланың бар болатындығын дәлелдейік. Бұл фактіні дәлелдеуде, математикада белгілі «максимум принцепі» деп аталатын Цорн леммасын пайдаланамыз. Цорн леммасы келесі түрде тұжырымдалады. Егер бөліктік реттелген жиынында әрбір тізбектің жоғарғы шекарасы болса, онда М жиынында ең болмағанда бір максималды элемент табылады [1].}

_{Бұл жағдайда, тізбек деп бөліктеп реттелген М жиынының осы Р қатынасы бойынша сызықтық реттелген кез келген ішкі жиынын түсінеміз.}

_{Біздің жағдайымызда, бөліктеп реттелген жиынның ролін С(а) элементін қамтитын В Буль алгебрасының барлық өзіндік идеалдар жиыны атқарады, яғни а элементін қамтитын кәдімгі теоретикалық-жиындық қамтылудың көмегімен реттелген бөліктік реттелген жиыны. Алдымен, кез келген нольден өзгеше элементі үшін жиынының бос болмайтындығын дәлелдейік. Байқайтынымыз, а элементінің толықтаушысы С(а) элементімен туындаған бас идеалы – өзіндік.}

_{Керісінше жағдайда, , яғни бар болар еді. ( бас идеалының анықтамасына сәйкес). Бұдан С(а)=1, яғни а=0, бірақ бұл «В жиынының тек қана нольден өзгеше а элементтері қарастырылады» деген шартқа қарама-қайшы. Сондықтан , яғни .}

_{Енді әрбір бағыттылған жиынындағы L идеалдар жиынтығының тізбегінің жоғарғы шекарасының болатындығын көрсетейік.}

₍₅₎

_{жиынының В Буль алгебрасының өзіндік идеалы болатынын тексеру қиын емес. Мысал үшін жиынының амалына қатысты тұйықталданғанын көрсетейік.}

_{Айталық, болсын. Онда болатынын көрсетейік. бағытталған идеалдар жиынтығының бірігуі болғандықтан, кейбір үшін және болады. Онда не , не . Бұл мүмкіндіктердің симметриялығынан болсын деп санайық. Онда , ал идеал болғандықтан, . (5) анықтама бойынша бұдан алатынымыз, . (5) анықтамадан шығатын тағы бір салдар: , яғни . Әрине, жиыны – L идеалдар тізбегінің жоғары шекарасы. Сонымен, бөліктік реттелген жиыны үшін Цорн леммасының шарты орындалды, онда оның қорытындысы да орынды, ал ол бойынша бұл бөлікткі реттелгенжиынның максималды элементі I бар. Енді осы I идеалының В Буль алгебрасының максималды идеалы болатынын дәлелдеу.}

_{Дәлелдеу үшін кері жору әдісін пайдаланамыз. Яғни I идеалын кеңейтетін В жиынына тең емес өзіндік идеалы табылып, болсын. Бірақ онда , себебі . Сонымен, өзіндік идеалы элементін қамтиды, сондықтан . Ал бұл I идеалының бөліктік реттелген жиынының максималды элементі болу шартына қарама-қайшы.}

_{Келтірілген дәлелдеу Цорн леммасы пайдаланып дәлелденетін тұжырымдардың барлығына тән. Ал, бұл бізге Цорн леммасын қолданудың жалпы жобасын алуға пайдасын тигізеді.}

Түйіндеме

Буль алгебраларының арасындағы негізгі сәйкестіктер

Основные соответствие между Булевыми алгебрами

The main compliance between Boolean algebras

Буль алгебраларының құрылымдық қасиеттерінің жан-жақтылығын көрсету мақсатында әртүрлі математикалық ғылымдарға тиесілі көптеген мысалдар қарастырылған. Формаль аксиомалық теориялардың пропедивтік әдісінің тәжірибесін қолданып, Буль алгебралары класының абстракциялы анықтамасы енгізілген. Бұл оның аксиомалары арқылы теоретико – жиындық, логика – алгебралық және теоретико – ықтималдық концепцияларды анықтауға мүмкіндік береді.

Буль алгебраларының көріністері туралы Стоун теоремасын мағналық пропедивтік деңгейде анықтау арқылы табиғи теоретико – жиындық баяндауға мүмкіндік беретін мысалдар қарастырылады.

С целью демонстрации универсальности проявление структурных свойств Булевых алгебр рассмотрено большое количество примеров, свойственных различным математическим наукам. Используя опыт пропедевтики метода формальных аксиоматических теории, введено абстрактное определение класса Булевых алгебр, позволяющее отразить посредством его аксиом, аналогию между теоретико-множественными, логико-алгебраическими и теоретико-вероятностными концепциями. Осуществляя на содержательном уровне пропедевтику теоремы Стоуна о представлении Булевых алгебр, рассматривались примеры, которые допускали естественную теоретико-множественную трактовку.

In order to demonstrate the universality of the manifestation of the structural properties of Boolean algebras a number of examples which characteristic of different mathematical sciences is considered. Using the experience of Propaedeutic of method of formal axiomatic theories, an abstract definition of the class of Boolean algebras, which allows reflected by its axioms, the analogy between set-theoretic, logical, algebraic and probability-theoretic concepts is introduced. Exercising at a substantial level Propaedeutic of Stone’s theorem on the representation of Boolean algebras examples of which admits a natural set-theoretic interpretation were considered.

Қолданылған әдебиеттер тізімі

1. Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. – М.: Наука, 1977. С. 367.

2. Бурбаки Н. Архитектура математики. Очерк по истории развития математики. – М.: ИЛ, 1965. С. 292.

3. ГончаровС.С., Ершов Ю.Л., Самохвалов К.Ф. введение в логику и методологию науки. – М.: Наука, 1977. С. 367.