Структура семантической нормальной дизъюнктивной формы строится в виде системы матриц образующих её конъюнктов

Математика/5.Математическое моделирование

К.ф.-м. н., доц. В.И. Евсеев

Казанский (Приволжский) федеральный университет, Казань, Россия,

кафедра прикладной информатики

Семантические нормальные формы и их приложения

_____________________________________________________________

§ 1. Семантические дизъюнктивные нормальные формы

Мы будем изучать строение дизъюнктивных нормальных форм тернарного вида, так как дальнейшее обобщение их представляется уже не очень сложным.

Структура семантической нормальной дизъюнктивной формы строится в виде системы матриц образующих её конъюнктов. Семантические конъюнкты являются матрицами, построенными по принципу первого вида тернарных операций, так что их значения формируются сочетанием трех внутренних конъюнкций. Конъюнкции предполагаются стандартными, созданными на базе основного изотопа.

Всего существует восемь таких конструкций (см. [5], стр. 83). Перечислим их по порядку возрастания внутренних номеров.

= (0, 0, 0) = (0, 0, 1)

Y X
	C	C	C	D
	C	C	C	D
	C	C	C	D
	D	D	D	D
	C	C	C	D
	C	A	B	D
	C	B	B	D
	D	D	D	D
	C	C	C	D
	C	C	C	D
	C	B	B	D
	D	D	D	D
	D	D	D	D
	D	D	D	D
	D	D	D	D
	D	D	D	D
Y X
	C	C	C	D
	C	B	B	D
	C	B	B	D
	D	D	D	D
	D	D	D	D
	D	D	D	D
	D	D	D	D
	D	D	D	D
	C	C	C	D
	C	C	C	D
	C	C	C	D
	D	D	D	D
	C	C	C	D
	C	A	B	D
	C	B	B	D
	D	D	D	D

Аналогично строится следующая пара элементарных конъюнктов.

= (0, 1, 0) = (0, 1, 1)

Y X
	C		D		C		C
	C		D		C		C
	C		D		C		C
	D		D		D		D
	C		D		C		C
	B		D		C		A
	B		D		C		B
	D		D		D		D
	C		D		C		C
	B		D		C		B
	B		D		C		B
	D		D		D		D
	D		D		D		D
	D		D		D		D
	D		D		D		D
	D		D		D		D
Y X
	C	D		C		C
	B	D		C		B
	B	D		C		B
	D	D		D		D
	D	D		D		D
	D	D		D		D
	D	D		D		D
	D	D		D		D
	C	D		C		C
	C	D		C		C
	C	D		C		C
	D	D		D		D
	C	D		C		C
	B	D		C		A
	B	D		C		B
	D	D		D		D

Заметим, что восемь элементарных конъюнктов составляют полное трехслойное покрытие семантического универсума, значит, для них справедливо тождество Канта, которое в данном случае имеет вид:

+ + + + + + + = W. (1.1)

Это тождество легко обобщить на любое количество исходных суждений, поэтому оно играет роль таблиц Карно, которые постоянно применяет В.И.Лобанов (см. [2]).

Такой подход позволяет строить в принципе любые уровни операций, но с увеличением количества входящих суждений семантические таблицы увеличиваются в объеме и теряют какой-либо интерес для исследователя.

Мы в данной заметке подробно остановимся на семантических таблицах для тернарного уровня нормальных форм.

При этом всюду черта над символом суждения указывает на применение операции инверсии, что для частного случая – категорических суждений, высказываний, соответствует отрицанию.

Так как мы изучаем аналитические суждения, то вопрос об их категоричности или истинности не ставится, суждения различаются по форме и подразделяются на четыре вида множеств определенного строения, которые называются конгруэнциями.

Следующая пара структурных таблиц имеет стандартный вид.

= (1, 0, 0) = (1, 0, 1)

Y X
	C	C	C	D
	D	D	D	D
	C	C	C	D
	C	C	C	D
	C	B	B	D
	D	D	D	D
	C	C	C	D
	C	A	B	D
	C	B	B	D
	D	D	D	D
	C	C	C	D
	C	B	B	D
	D	D	D	D
	D	D	D	D
	D	D	D	D
	D	D	D	D

Y X
	C	B	B	D
	D	D	D	D
	C	C	C	D
	C	B	B	D
	D	D	D	D
	D	D	D	D
	D	D	D	D
	D	D	D	D
	C	C	C	D
	D	D	D	D
	C	C	C	D
	C	C	C	D
	C	B	B	D
	D	D	D	D
	C	C	C	D
	C	A	B	D

Здесь легко заметить закономерности перемещения элементов, строк и столбцов, а также частей блоков и полных блоков, которые соответствуют видам формул в элементарных конъюнктах. Эти перемещения сохраняют схему строения и количественный состав самих блоков. Так, если блок содержит элемент типа , то в этом блоке три элемента типа , пять элементов типа и семь элементов типа . Если блок не содержит элемента , но содержит три остальных типа, то в нём четыре элемента типа , а других – то же самое количество. Если блок содержит только два слабых элемента, то в нём девять элементов типа и семь элементов типа . Один из блоков полностью состоит из блоков типа .

Таким образом, каждая из приводимых таблиц содержит всегда один элемент типа ,семь элементов типа , девятнадцать элементов типа и тридцать семь элементов типа .

Конкретное расположение элементов, их строк и столбцов варьируется в зависимости от реальной формулы элементарного конъюнкта.

= (1, 1, 0) = (1, 1, 1)

Y X
	C	D		C		C
	D	D		D		D
	C	D		C		C
	C	D		C		C
	B	D		C		B
	D	D		D		D
	C	D		C		C
	B	D		C		A
	B	D		C		B
	D	D		D		D
	C	D		C		C
	B	D		C		B
	D	D		D		D
	D	D		D		D
	D	D		D		D
	D	D		D		D
Y X
	B	D	C		B
	D	D	D		D
	C	D	C		C
	B	D	C		B
	D	D	D		D
	D	D	D		D
	D	D	D		D
	D	D	D		D
	C	D	C		C
	D	D	D		D
	C	D	C		C
	C	D	C		C
	B	D	C		B
	D	D	D		D
	C	D	C		C
	B	D	C		A

Итак, нами перечислены все возможные элементарные семантические конъюнкты.

В сложных таблицах часто применяются упрощенные обозначения с учетом символом конгруэнций. Мы будем пользоваться ими для записи общих таблиц, связанных со структурой конструктов универсума. Отметим, что для построения дизъюнктивных нормальных семантических форм, в которых основную роль играют элементарные конъюнкты, применяется конструкт универсума, который мы будем обозначать , причем по определению он является дизъюнкцией элементарных конъюнктов, представленных в таблицах, то есть имеет вид

. (1.2)

Знак плюс здесь символизирует стандартную дизъюнкцию. Чтобы учесть все реальные значения конгруэнций в этом конструкте, построим его общую матрицу, отражающую вид тождества Канта для этой тернарной структуры. Эта матрица является полным набором всех значений элементарных конъюнктов.

ТАБЛИЦА

ТЕРНАРНЫХ СЕМАНТИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ В

Формула операции:

На основе этой матрицы строится блочный вид структуры универсума с учетом построения результатов по принципу дизъюнкции (принимая условную последовательность сравнения типов конгруэнций по силе: A, B, C, D).

Y X
	B	B	B	B
	B	B	B	B
	B	B	B	B
	B	B	B	B
	B	B	B	B
	B	A	B	A
	B	B	B	B
	B	A	B	A
	B	B	B	B
	B	B	B	B
	B	B	B	B
	B	B	B	B
	B	B	B	B
	B	A	B	A
	B	B	B	B
	B	A	B	A

ТАБЛИЦА

СТРОЕНИЯ УНМВЕРСУМА

Примечание: и здесь, и в дальнейшем мы будем указывать только сам вид конгруэнций (A,C,D,B).

§ 2. СЕМАНТИЧЕСКИЕ НОРМАЛЬНЫЕ КОНЪЮНКТИВНЫЕ ФОРМЫ

Эти формы являются двойственными образами к дизъюнктивным нормальным формам и строятся на базе элементарных тернарных дизъюнктов, имеющих вид:

, ,

(2.1)

, ,

, .

Таким образом, элементарные дизъюнкты принимают вид стандартных таблиц.

Y X
	C	A	B	C
	A	A	A	A
	B	A	B	B
	C	A	B	C
	A	A	A	A
	A	A	A	A
	A	A	A	A
	A	A	A	A
	B	A	B	B
	A	A	A	A
	B	B	B	B
	B	A	B	B
	C	A	B	C
	A	A	A	A
	B	A	B	B
	C	A	B	D

Y X
	B	A	B	B
	A	A	A	A
	B	A	B	B
	B	A	B	B
	C	A	B	C
	A	A	A	A
	B	A	B	B
	C	A	B	D
	C	A	B	C
	A	A	A	A
	B	A	B	B
	C	A	B	C
	A	A	A	A
	A	A	A	A
	A	A	A	A
	A	A	A	A

= (0, 0, 0) = (0, 0, 1)

Отметим довольно простые связи между элементарными конъюнктами и элементарными дизъюнктами на данной модели:

, ,

(2.2)

, ,

, .

Эти формулы подчеркивают, что изучаемые формы обладают полярностью, которая позволяет записывать заданную формулу как в виде композиции конъюнкций, так и с виде композиции дизъюнкций. Это в свою очередь приводит к задаче минимизации семантических форм, чем мы планируем заняться в отдельной работе. Продолжим построение элементарных дизъюнктов.

Y X
	B	C	C	A
	A	A	A	A
	B	B	B	A
	B	C	C	A
	A	A	A	A
	A	A	A	A
	A	A	A	A
	A	A	A	A
	B	B	B	A
	A	A	A	A
	B	B	B	A
	B	B	B	A
	B	C	C	A
	A	A	A	A
	B	B	B	A
	B	D	C	A

(0, 1, 0) (0, 1, 1)

Y X
	B	B	B	A
	A	A	A	A
	B	B	B	A
	B	B	B	A
	B	C	C	A
	A	A	A	A
	B	B	B	A
	B	D	C	A
	B	C	C	A
	A	A	A	A
	B	B	B	A
	B	C	C	A
	A	A	A	A
	A	A	A	A
	A	A	A	A
	A	A	A	A

Естественным продолжением формул (2.2) являются переходы в самих соединениях элементов, которые определяются законами де Моргана. Отметим, что эти законы имеют и тернарные обобщения. Эти обобщения мы будем применять для установления взаимосвязей между конъюнктивными и дизъюнктивными нормальными формами.

Приведем сводку этих соотношений:

, (2.3)

Таким образом, всегда осуществимо преобразование одного вида формул в другие, при этом результат зависит от вида исходно выбранной модели конъюнкции.

Продолжим построение элементарных конъюнктов.

(1, 0, 0) (1, 0, 1)

Y X
	B	A	B	B
	B	A	B	B
	B	A	B	B
	A	A	A	A
	B	A	B	B
	С	A	B	D
	С	A	B	С
	A	A	A	A
	B	A	B	B
	С	A	B	С
	С	A	B	С
	A	A	A	A
	A	A	A	A
	A	A	A	A
	A	A	A	A
	A	A	A	A
Y X
	B	A	B	B
	С	A	B	С
	С	A	B	С
	A	A	A	A
	A	A	A	A
	A	A	A	A
	A	A	A	A
	A	A	A	A
	B	A	B	B
	B	A	B	B
	B	A	B	B
	A	A	A	A
	B	A	B	B
	С	A	B	D
	С	A	B	С
	A	A	A	A

Соединение элементарных дизъюнктов в некоторые формулы с помощью конъюнкции также правомочно, как и привычное соединение элементарных конъюнктов в подобнее формулы с помощью дизъюнкции.

Следовательно, всегда можно ограничиться четырьмя из восьми соединяемых элементарных блоков.

Поэтому мы в дальнейших исследованиях, и, в частности, при решении задач, будем применять этот метод минимизации формул наряду с традиционными формулами логических законов, которые действуют также и в области семантики.

Еще раз подчеркнём, что только для высказываний полярность дизъюнктивных и конъюнктивных нормальных форм является абсолютной, так как дает одни и те результаты по функции истинности. В общем случае для семантических моделей эта полярность оказывается относительной или неполной. Хотя выбор вида нормальных форм, которыми желает пользоваться исследователь, зависит от него, но переходить от одной из форм к дугой следует, только убедившись, что результаты по видам универсумов для обеих форм совпадают, что не всегда достижимо и зависит от того вида модели конъюнкции, который принят за исходный. Такой эффект также стоит отнести к качеству изотопа, используемого в качестве базового.

Приведем два последних типа элементарных дизъюнктов:

Y X
	B	B	B	A
	B	C	C	A
	B	C	C	A
	A	A	A	A
	A	A	A	A
	A	A	A	A
	A	A	A	A
	A	A	A	A
	B	B	B	A
	B	B	B	A
	B	B	B	A
	A	A	A	A
	B	B	B	A
	B	D	C	A
	B	C	C	A
	A	A	A	A
Y X
	B	B	B	A
	B	B	B	A
	B	B	B	A
	A	A	A	A
	B	B	B	A
	B	D	C	A
	B	C	C	A
	A	A	A	A
	B	B	B	A
	B	C	C	A
	B	C	C	A
	A	A	A	A
	A	A	A	A
	A	A	A	A
	A	A	A	A
	A	A	A	A

Также, как и для нормальных конъюнктов, для данных семантических схем строится общая таблица тернарных операций, имеющая восемь возможностей реализации в зависимости от исходно заданных видов аналитических суждений.

В целом такая таблица позволяет затем, учитывая, что конъюнктивная нормальная форма строится по правилу минимума, определить вид конкретного универсума для структур конъюнктивных нормальных форм. Этот универсум оказывается взаимным к соответствующему универсуму дизъюнктивных нормальных форм. Такой результат естественно следует из построения элементарных дизъюнктов.

Кроме того, в строении этих полных семантических таблиц прослеживаются особенности выбора группы и изотопа, применяемого для построения нормальных форм обоих видов. Значит, и на этом уровне мы получаем понятие о качестве построенных семантических нормальных форм.

Это позволяет ставить вопрос о выборе наиболее подходящих группы и изотопа, в условиях которых можно приблизиться к тем свойствам полярности нормальных форм, которые привычны для классической двузначной логики. Этими вопросами мы планируем заняться при дальнейшем изучении нормальных форм. Сейчас приведём только общую таблицу для универсума , соответствующего семантическим дизъюнктивным нормальным формам.

ТАБЛИЦА ТЕРНАРНЫХ СЕМАНТИЧЕСКИХ

ДИЗЪЮНКТИВНЫХ НОРМАЛЬНЫХ ФОРМ В ТАСУ

Формула операции:

Из этой общей таблицы следует результирующая схема строения универсума для семантических дизъюнктивных нормальных форм.

ТЕРНАРНАЯ СТРУКТУРА

Y X
	C	C	C	C
	C	C	C	C
	C	C	C	C
	C	C	C	C
	C	C	C	C
	C	D	C	D
	C	C	C	C
	C	D	C	D
	C	C	C	C
	C	C	C	C
	C	C	C	C
	C	C	C	C
	C	C	C	C
	C	D	C	D
	C	C	C	C
	C	D	C	D

Естественно, что эта форма является полярной к форме универсума .

Эти результаты мы планируем в дальнейшем обобщить на квадратичные конструкции

семантических нормальных форм.

ЛИТЕРАТУРА:

1. Евсеев В.И. О логических основах функционирования систем// Труды III Всероссийской научной конференции «Информационные технологии в системе социально-экономической безопасности России и ее регионов», Казань, изд-во ТГГПУ,2010 ( 278 – 281).

2. Акбашев Р.А., Евсеев В.И. Моделирование аналитической семантики// Труды II Всероссийской научной конференции «Информационные технологии в системе социально-экономической безопасности России и ее регионов», Казань, изд-во ТГГПУ, 2009 (146 – 160).

3. В.И.Евсеев. О методике моделирования логических систем.// Труды Международной научно-практической конференции «Информационные технологии в образовании и науке». Казань, изд-во К(П)ФУ, 2012 (225 – 231).

4. Лобанов В.И. Русская логика против классической. М. «Спутник+». 2002. (125с.)

5. В.И.Евсеев. Математическая логика. Учебно-методическое пособие. Изд - во ТГГПУ.

Казань.2010. (96 стр.)