К.ф.-м.н.,
профессор Паршин А.В.
ВУНЦ ВВС «ВВА
имени профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина»
(г. Воронеж), Россия
Средства для повышения эффективности проведения
автоматизированного практического занятия «Матричные и числовые
характеристики ориентированных графов»
В монографии [1] показано, что
использование компьютерных математических систем при проведении практических
занятий по математике приводит к значительной их интенсификации, что позволяет
повысить качество подготовки курсантов. Но наряду с этим разработка
компьютерных программ учебного назначения и их применение для интенсификации и
автоматизации практических занятий на наш взгляд также должна приводить к
повышению качества математического образования курсантов. Чтобы в этом
убедиться нами была выбрана тема прикладной математики «Основные понятия теории
графов». Этот раздел преподается на двух специальностях «Средства радиоэлектронной
борьбы» и «Информационная безопасность автоматизированных систем» на 5
факультете ВУНЦ ВВС «ВВА». По этой теме предусмотрено проведение 4 практических
занятий. Второе из них называется «Матричные и числовые характеристики ориентированных
графов» и включает в себя 2 учебных вопроса: 1) матричные характеристики ориентированных
графов; 2) числовые характеристики ориентированных графов.
С целью интенсификации и автоматизации
этого занятия была разработана обучающая программа [2].
Разработанная
обучающая программа содержит в себе:
1)
теоретическую информацию об изучаемых алгоритмах;
2)
модуль тестирования, осуществляющий проведение входного контроля знаний и
умений курсантов по теме занятия с проставлением оценки;
3)
двадцать пять вариантов индивидуальных заданий, выполняемых на ПЭВМ в диалоговом
режиме с автоматизацией всех рутинных вычислений, отвлекающих внимание обучаемых
от освоения алгоритмов изучаемых методов.
4)
визуально-графическое сопровождение выполняемых заданий;
5)
контроль правильности выполняемых обучающимся действий с фиксацией количества
ошибок;
6)
сопутствующие сообщения о ходе выполнения работы;
7) отображение результатов по окончании работы с
проставлением оценки.
Все возможности
разработанной программной среды направлены на повышение уровня усвоения
изучаемых на практическом занятии алгоритмов.
Достаточно большое количество вариантов
заданий (25 вариантов) позволяет осуществлять тренаж знаний и умений по теме
занятия.
Для реализации поставленной задачи
использовался язык Object Pascal в среде программирования
Delphi 7.
В качестве аппаратной среды используются
персональные компьютеры типа IBM PC.
Программное обеспечение
должно включать операционную систему Windows
версии не ниже 98.
В начале работы программы [2] на
экране отображается главная форма (рис. 1), которая содержит меню и информацию
о том, что пользователю нужно сначала зарегистрироваться, нажав на пункт меню
«Регистрация». Для того, чтобы узнать информацию о программе, необходимо нажать
на пункт меню «О программе». Для получения теоретической справки нажимают на
пункт меню «Теория». Для прохождения тестирования с целью входного контроля
знаний и умений нажимают на пункт меню «Тестирование». После прохождения тестирования
программа проставляет курсанту оценку. Для выхода из программы нужно нажать
пункт меню «Выход».
|
|
|
|
Рисунок 1 – Главная форма обучающей программы |
Рисунок 2 – Форма меню «Тестирование» |
После успешной регистрации
необходимо нажать на пункт меню «Теория». Появляется форма теоретической
справки.
После
нажатия на пункт меню «Тестирование» появляется форма (рис. 2).
Для выполнения
индивидуального задания необходимо нажать на пункт меню «Задание». Появляются
формы, на которых даются формулировки и решения вариантов индивидуальных заданий
(рис. 3).
Рисунок 3 –Выполнение варианта индивидуального задания
Для доказательства того, что применение
разработанной обучающей программы приведет к повышению эффективности проведения
соответствующего практического занятия, был проведен педагогический
эксперимент, который осуществлялся в 3 этапа.
На
первом начальном этапе экспертом
(одним из авторов) был проведен сравнительный анализ затрат учебного времени на
решение комплекта из 12 задач (примерно в 3-4 раза больше количества задач,
прорешиваемых на занятии обычным образом) двумя способами: вручную и с
использованием разработанной программы.
Комплект состоял из следующих учебных
задач:
Первый учебный вопрос
Задача 1.
Для ографа, изображенного на рис. 4, найти матрицу смежности A.
Рисунок 4 Рисунок 5
Задача
2. Для орграфа, изображенного на рис.
5, найти матрицу инциденций B.
Задача
3. Для орграфа, изображенного на рис.
4, найти матрицы достижимости C и контрдостижимости Q.
Задача
4. Для орграфа, изображенного на рис.
6, найти матрицу смежности A.
Рисунок 6
Рисунок 7
Задача 5. Для орграфа, изображенного на рис. 7, найти матрицу
инциденций B.
Задача 6. Для орграфа, изображенного на рис. 6, найти матрицы
достижимости C и контрдостижимости Q.
Задача 7. Для орграфа, изображенного на рис. 8, найти матрицу
смежности A.
Рисунок 8 Рисунок 9
Задача 8. Для орграфа, изображенного на рис. 9, найти матрицу
инциденций B.
Задача 9. Для орграфа, изображенного на рис. 8, найти матрицы
достижимости C и контрдостижимости Q.
Второй учебный вопрос
Задача 10. Для орграфа, изображенного на рис. 4, найти число
маршрутов указанных длин для заданных пар вершин:
1) из вершины 
в вершину 
длиной 2,
2) из вершины 
в вершину 
длиной 3,
3) из вершины 
в вершину 
длиной 4,
4) из вершины 
в вершину 
длиной 5,
5) из вершины 
в вершину 
длиной 6.
Задача 11. Для орграфа, изображенного на рис. 6, найти число
маршрутов указанных длин для заданных пар вершин:
1) из вершины 
в вершину 
длиной 2,
2) из вершины 
в вершину 
длиной 3,
3) из вершины 
в вершину 
длиной 4,
4) из вершины 
в вершину 
длиной 5,
5) из вершины 
в вершину 
длиной 6.
Задача 12. Для орграфа, изображенного на рис. 8, найти число
маршрутов указанных длин для заданных пар вершин:
1) из вершины 
в вершину 
длиной 2,
2) из вершины 
в вершину 
длиной 3,
3) из вершины 
в вершину 
длиной 4,
4) из вершины 
в вершину 
длиной 5,
5) из вершины 
в вершину 
длиной 6.
Приведем решения экспертом следующих 4 показных задач
комплекта двумя способами: вручную и с использованием обучающей программы. В конце
приведенных примеров указывается время, затраченное экспертом на решение каждой
из показных задач.
Решение
задачи 1 вручную. Так как на данном
графе отсутствует петля 
, то 
. Поскольку дуга 
принадлежит графу, то
. Дуга 
наоборот ему не
принадлежит, поэтому 
. Аналогично находим остальные элементы 
матрицы смежности 
. В результате получаем
(8 мин). (1)
Решение
задачи 1 с использованием обучающей программы (3,5 мин).
Решение
задачи 2 вручную. Поскольку дуги
1,2,3 исходят из вершин 
, то 
. Так как дуги 2,4,6 заходят в вершину 
, то 
. Дуга 4 не является для вершин 
ни исходящей, ни заходящей,
поэтому 
. Аналогично находим остальные элементы 
матрицы инциденций 
. Окончательно получаем
(10 мин).
Решение
задачи 2 с использованием обучающей программы (4 мин).
Решение
задачи 3 вручную. Матрица смежности 
данного орграфа найдена
при решении задачи 1. Она имеет вид (1).
Для нахождения матрицы достижимости 
сначала нужно
построить вспомогательную матрицу 
:
,
где E –
единичная матрица размерности 
.
Найдем 
. Вычислим элементы первой строки этой матрицы
,
,
,
,
,
.
Аналогично вычисляются элементы остальных строк
матрицы 
. Окончательно получаем
.
Действуя аналогично, далее последовательно находим
,
,
,
.
Складывая найденные матрицы с матрицей 
, находим матрицу 
:
.
Как известно 
, если 
и 
при 
.
Так как все элементы матрицы 
отличны, то,
следовательно, все элементы матрицы 
равны единице, т.е. С – матрица размерности 
, все элементы которой
равны 1.
Транслируя матрицу 
, получаем матрицу контрдостижимости 
:
(60 мин).
Решение
задачи 3 с использованием обучающей программы (3,5 мин).
Решение
задачи 10 вручную. Матрица смежности
графа (рис. 4) имеет вид
.
Для ответов на поставленные в задаче 10
пять вопросов необходимо найти 
:
,
,
,
,
.
Как известно, 
–й элемент матрицы 
есть число маршрутов
длиной 
. В матрице 
(3,4)–й элемент равен
1, поэтому число маршрутов из вершин 
в вершину 
длиной 2 равно 1. В
матрице 
(1,2)–й элемент равен
3, откуда следует, что число маршрутов из вершины 
в вершину 
длиной 3 равно 3.
Аналогично находим:
1)
число маршрутов из
вершины 
в вершину 
длиной 4 равно 8;
2)
число маршрутов из
вершины 
в вершину 
длиной 5 равно 5;
3)
число маршрутов из
вершины 
в вершину 
длиной 6 равно 13.
(53 мин.)
Результаты первого начального этапа эксперимента
приведены в табл. 1.
Таблица 1 – Время, затраченное
экспертом на решение всего комплекта задач
|
№ |
|
|
|
1 |
8.0 |
3.5 |
|
2 |
10.0 |
4.0 |
|
3 |
60.0 |
3.5 |
|
4 |
7.0 |
3.0 |
|
5 |
9.0 |
3.8 |
|
6 |
55.0 |
3.2 |
|
7 |
8.5 |
3.3 |
|
8 |
9.9 |
3.8 |
|
9 |
54.0 |
3.1 |
|
10 |
53.0 |
2.3 |
|
11 |
52.0 |
2.1 |
|
12 |
50.0 |
2.0 |
|
Тестирование |
– |
5 |
|
Всего |
376.4 |
42.6 |
, мин
, мин
Здесь: 
, 
, ‑ время, затраченное экспертом на решение комплекта задач
соответственно вручную и в среде обучающей программы.
Анализ табл. 1 говорит о том, что применение разработанной обучающей программы
для автоматизации вычислений дает очень большой выигрыш в затратах учебного
времени по сравнению с расчетами вручную (почти в 9 раз) и дополнительно позволяет осуществить
тестирование с проставлением оценки для осуществления входного контроля знаний
и умений.
Отметим, что
за вычетом времени, отводимым на вводную часть (15 мин) и заключительную
часть (5 мин) занятия, на решение задач остается 70 мин учебного времени. За
это время при проведении занятия в традиционной форме (без применения
компьютеров) удается, как правило, решить около 3 задач.
На решение всего
комплекта из 12 задач и дополнительное тестирование с использованием обучающей
программы экспертом затрачено 42,6 мин. Таким образом, можно предположить, что,
используя возможности обучающей программы, за 70 мин учебного времени число
задач, решаемых на данном практическом занятии можно существенно увеличить
(ориентировочно с 3 до 12 штук).
Проверка
этого предположения (гипотезы) и является содержанием второго проверочного этапа
педагогического эксперимента. На этом этапе в двух примерно равноценных по
успеваемости учебных группах, контрольной и экспериментальной, было проведено
обсуждаемое практическое занятие соответственно по традиционной методике и с применением
обучающей программы. Курсантам предлагались задачи описанного выше комплекта. В
контрольной группе (традиционная методика) примерно половину задачи решили 2 курсанта,
5 курсантов решили 1 задачу, 2 курсанта решили 2 задачи комплекта заданий и
лишь 2 курсанта из 11 человек решили 3 задачи. В экспериментальной группе 2
курсанта решили 10 заданий. Три человека из 11 решили 11 заданий. Кроме того 6
человек решили все 12 заданий.
Третий
итоговый этап педагогического
эксперимента был реализован в форме проверки остаточных знаний курсантов
контрольной и экспериментальной групп в
конце семестра. Курсантам была предложена 90-минутная самостоятельная
работа, в которой требовалось решить вручную 4 задачи, аналогичные
рассмотренным показным задачам. Результаты оценивания приведены в табл. 2.
Таблица 2 - Результаты контроля остаточных знаний
|
Оценка Количество
курсантов
в группах |
2 |
3 |
4 |
5 |
Средний
балл |
|
Контрольная группа (11 человек) |
2 (18%) |
5 (46%) |
2 (18%) |
2 (18%) |
3.36 |
|
Экспериментальная группа (11 человек) |
– (0%) |
2 (18%) |
3 (27%) |
6 (55%) |
4.36 |
Для количественной оценки эффективности
обсуждаемой методики рассмотрим принятые в педагогических исследованиях коэффициент
успешности 
и коэффициент качества
подготовки курсантов
[3]:
, 
,
где m – число положительных оценок, k– число
хороших и отличных оценок, n – общее
число оценок в группе.
В соответствии с
табл. 2 получим: для контрольной группы 
, 
; для экспериментальной группы 
, 
.
Как видим, коэффициент успешности в экспериментальной
группе по сравнению с контрольной выше на 18%, а коэффициент качества выше на 46%.
Это позволяет сделать вывод, что предлагаемая методика проведения практического
занятия «Матричные и числовые характеристики ориентированных графов» с использованием
обучающей программы [2] эффективна по критериям общей
успешности и качественному показателю.
Таким
образом, гипотеза о том, что автоматизация рутинных вычислений средствами обучающей программы [2] приведет к повышению качества обучения курсантов нахождению
матричных и числовых характеристик ориентированных графов, подтверждена педагогическим
экспериментом.
Литература:
1. Паршин А.В. Математические модели и
специальные программно-технические средства обучения курсантов математике в
военных вузах: монография. Воронеж: ВАИУ, 2009. 270 с.
2. Паршин А.В.,
Панюшкин В.Н., Малимон М.С. Автоматизированное практическое занятие «Матричные
и числовые характеристики ориентированных графов» // Свидетельство о
государственной регистрации программы для ЭВМ №2013613865, зарегистрирована 17
апреля 2013 г. М.: Роспатент, 2013. 66 с.
3. Якунин В.А. Психология учебной
деятельности студентов. М.-Спб.: Логос, 1994. 160 с.