Бакиров Ж.Б., Бакиров М.Ж.

Карагандинский государственный технический университет

СЛУЧАЙНЫЕ НЕСТАЦИОНАРНЫЕ КОЛЕБАНИЯ

МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Случайные нестационарные колебания в механической системе возникают при действии случайных нестационарных нагрузок или при стационарных нагрузках на переходных режимах механической системы. Уравнение вынужденных колебаний линейной системы с одной степенью свободы с постоянными коэффициентами имеет вид

, (1)

где m – масса колеблющегося элемента; - случайная сила;

ε – коэффициент затухания колебаний; ω – частота собственных колебаний.

Начальные условия возбуждения в общем случае являются случайными величинами. Случайную нагрузку и начальные данные считаем независимыми.

Решение уравнения (1) для произвольной правой части имеет вид

, (2)

где у, - начальные возбуждения.

Математические ожидания и корреляционная функция решения

, (3)

+ , (4)

где (5)

Рассмотрим сначала случай, когда к системе прикладывается гармоническая сила

,

где F – случайная величина с известными вероятностными характеристиками и . Начальные условия считаем нулевыми.

Решение в этом случае имеет вид

.

Производя замену переменных , получаем

.

После интегрирования находим

,

где

Математическое ожидание и корреляционная функция решения будут равны:

,

.

Для установившихся колебаний () получаем

.

Теперь рассмотрим нестационарные колебания, когда нагрузка представляет собой случайный стационарный процесс типа белого шума. Вероятностные характеристики решения определяем по формулам (3) и (4) при нулевых начальных условиях. Математическое ожидание

.

Корреляционная функция

.

Подставляя сюда выражение (5), можно записать

.

После интегрирования получаем

+ . (6)

Отсюда при t = t определяем дисперсию

. (7)

При получаем стационарное решение для положительных . Если решение распространить на всю действительную ось, то получим

,

что совпадает с известным выражением [1].

Аналогично могут быть найдены вероятностные характеристики решения при других корреляционных функциях внешнего воздействия. Так, например, для экспоненциально-коррелированного процесса

дисперсия решения при нулевых начальных условиях определяется выражением

,

где (8)

Внутренний интеграл представим в виде суммы двух интегралов, не содержащих модуля

С учетом того, что

, (9)

,

после математических преобразований получаем

+. (10)

При процесс становится стационарным, и дисперсия определяется выражением

и совпадает с выражением, полученным в работе [2].

Список литературы

1. Болотин В.В. Случайные колебания упругих систем. – М.: Наука, 1979.-336 с.

2. Бакиров Ж.Б. Вероятностные методы расчета элементов конструкций. - Караганда: КарГТУ, 2001. – 182 с.