Математика/ 1. Дифференциальные и интегральные уравнения

К.ф.-м.н. Букенов М.М.

Евразийский национальный университет им. Л.Н. Гумилева, Казахстан

Фазылова Л. С.

Карагандинский государственный университет им. Е.А. Букетова, Казахстан

Устинова Л. В.,

Адекенова А. Н.

Назарбаев интеллектуальная школа химико-биологического направления, Казахстан

Об одних двусторонних оценках для вязкоупругих сред

Рассмотрим в области , с границей и - цилиндр, с боковой гранью .

Ставится задача - найти решение следующих уравнений [1], [2]:

(1)

(2)

(3)

(4)

здесь (1) – уравнение движения, (2) – закон импульса, (3), (4) – уравнения состояния: (3) – вязкоупругая среда Максвелла, (4) – уравнение Кельвина-Фойгта; B – матрица коэффициентов Ламе, симметричная, положительно определенная, С – матрица, состоящая из коэффициентов вязкости, симметричная, положительно определенная, - диагональная матрица, - вектор скоростей, * - означает транспонирование, - вектор напряжений, - вектор деформаций; опорный оператор R определяется следующим образом [1]:

(5)

Матрицы В, С, - перестановочны.

К соотношениям (1)-(4) нужно добавить соотношения перемещение-деформации: . Вектор перемещения u и скорости v связаны соотношением .

После несложных преобразований приходим к уравнениям:

(6)

для среды Максвелла,

(7)

для среды Кельвина-Фойгта.

Решение задачи (1)-(3), (6) будем искать в цилиндре . При этом

(8)

(9)

Предположим, что на боковой поверхности цилиндра Q искомое решение удовлетворяет одному из приведенных ниже однородных краевых условий;

(10)

Начальные данные (8), (9) и краевые условия (10) будем считать согласованными. При этом задачу (1)-(3), (6) назовем задачей (I), а задачу (1), (2), (4), (7) – задачей (II).

Как известно, если , то справедлива оценка

(11)

В соответствии с методом фиктивных областей [3], [4], дополним исходную область D некоторой областью до составной области с границей .

В составной области рассмотрим задачу:

(12)

где - малый параметр и

На границе ставятся условия согласования:

(13)

где n – вектор нормали к границе , знаки «+» или «-» означают стремление функции изнутри и извне границы . Параметр P принимает значение 1 или -1.

Тогда справедлива следующая теорема.

Теорема 1. Верна оценка

Здесь и соответствуют решению задачи (12), (13) и отвечают значению параметра и .

Теорема 2. Если , то справедлива следующая оценка:

где и - решения задачи (12), (13) при и , - решение задачи (I).

Для задачи II в соответствии с методом фиктивных областей построим вспомогательную задачу

(14)

Дополним начальными и краевыми условиями из (12) и условия сопряжения (13).

Для задачи II верна

Теорема 3. Для верна оценка

.

Кроме того, справедлива

Теорема 4. Если , то верна следующая оценка

где - решение задачи II, и - решения задачи (14) при и .

Запись исходных задач в терминах оператора и сопряженного , обусловлены возможностью построения консервативных разностных схем, допускающих реализацию с помощью схем расщепления.

Литература:

1. Букенов М.М. Постановка динамической задачи линейной вязкоупругости в скоростях напряжениях. // Сиб. Журнал вычислительной математики РАН. Сиб. Отд. - Новосибирск, 2005. – т.8, № 4. – с. 289-295.

2. Коновалов А.Н. Об одном варианте метода фиктивных областей. // В кн. Некоторые проблемы вычислительной и прикладной математики. - Новосибирск, 1975. с. 191-199.

3. Букенов М.М. Метод фиктивных областей для среды Максвелла. // Численные методы и пакеты программ для решений уравнений математической физики. – Новосибирск, 1985, т. 4, № 2, с. 117-126.

4. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. - Москва: Наука, 1967. - 736 с.