ПРИЛОЖЕНИЯ РегрессионныХ методОВ

К идентификации композитов

Стрельцова А.А., Гарькина И.А.

Пензенский государственный университет архитектуры и строительства

Рассмотрим линейную статическую систему, имеющую m входов и один выход Z (рис.1). Она описывается следующим линейным уравнением:

. (1)

Рис.1

Используя серию измерений величин , в r моментов времени, можно определить параметры . По r совокупностям измерений вычисляются и , где , – средние значения , для указанных серий измерений. Введём , . Тогда уравнение (1) принимет вид

,

,

где – вектор-столбцы с элементами x_j, a_j соответственно.

Количество r последовательных измерений удовлетворяют соотношениям

(2)

где m обозначает момент измерений z,. Введём вектор c и матрицу следующим образом:

c; .

Следовательно, система уравнений (2) может быть записана в векторной форме:

c. (3)

Предполагая, что компоненты вектора в уравнении (3) являются оценками истинного вектора , можно с помощью уравнения (3) получить такие оценки вектора c, что.

Легко показать, что наилучшая в смысле наименьших квадратов оценка вектора удовлетворяет уравнению c, так что

,

что и позволяет построить процедуру идентификации вектора на основе линейной регрессии и метода наименьших квадратов. Отметим, что матрица существует только тогда, когда матрица не является особенной.

Число измерений r должно быть больше числа идентифицируемых параметров . Если , то в оценке c шум измерений не будет сглажен. Поэтому для адекватной идентификации требуется по крайней мере измерений, причём в течение этого периода система предполагается стационарной.

Воспользуемся указанным подходом [1] для определения зависимости предела прочности при сжатии от твёрдости T и модуля деформации Е эпоксидных композитов по данным эксперимента:

Z	117	100	120	57	99	102	79	64	74	87
X1	6,01	5,05	6,15	2,94	5,06	5,23	4,05	3,40	3,79	4,44
X2	3,62×10^4	4,71×10^4	3,51×10^4	1,06×10^4	4,71×10^4	4,48×10^4	6,57×10^4	8,52×10^4	7,25×10^4	5,71×10^4

Принято:

Имеем: = 4,61; = 5,01 × 10⁴; = 89,9.

Для центрированных значений переменных данные эксперимента приводятся в таблице:

Z	27,1	10,1	30,1	–32,9	9,1	12,1	–10,9	–25,9	–15,9	–2,9
X1	1,40	0,44	1,54	–1,67	0,45	0,62	–0,56	–1,21	–0,82	–0,17
X2	–1,39×10^4	–0,3×10^4	–1,5×10^4	–3,95×10^4	–0,3×10^4	–0,53×10^4	1,56×10^4	3,51×10^4	2,24×10^4	0,7×10^4

В соответствии с предыдущим значение при -измерении и для параметров линейной модели будем иметь:

= (19,1; – 1,26 × 10 ^–5).

Окончательно получим = 2,48 + 19,1 T – 1,26 × 10 ^-5 E₁₅.

Как видим, относительная ошибка вычисления по модели не превышает приблизительно 1 %. Одновременно отметим, что исходная таблица измерений обладает избыточностью (достаточно знания одного из двух параметров или T). При этом и T практически от E не зависят.

Аналогично устанавливались зависимости ряда других свойств эпоксидных композитов от рецептурно-технологических параметров [2]. Естественно, предлагаемая методика, в основном, ориентирована на изучение свойств материалов в локальных областях факторного пространства.

Литература

1. Данилов А.М.,Гарькина И.А., Домке Э.Р. Математическое и компьютерное моделирование сложных систем. - Пенза: ПГУАС, 2011. -296 с.

2. Баженов Ю.М., Гарькина И.А., Данилов А.М., Королев Е.В. Системный анализ в строительном материаловедении: монография. -М.: МГСУ: Библиотека научных разработок и проектов. -2012. –432 с.