Пасічник В.А.

Дніпропетровський національний університет

ДО ПИТАННЯ РОЗРАХУНКУ ВЛАСНИХ КОЛИВАНЬ

ПЛАСТИНИ З ТРІЩИНОЮ НА ОСНОВІ МЕТОДУ

ЗБУРЕННЯ ВИДУ КРАЙОВИХ УМОВ

Тонкі пружні пластини мають широке застосування у різних галузях машинобудування, ракетобудування та авіаційної техніки. Довготривале використання пластинчатих конструкцій приводить до появи тріщин, а потім і руйнування конструкції. У зв’язку з цим проблема розробки та вдосконалення методів дослідження динаміки таких конструкцій на даний час є досить актуальною.

Задачі для пластин з тріщинами складають особливий клас задач механіки руйнування. Оскільки така пластина має розрив матеріалу, обумовлений вузькою тріщиною, динамічна поведінка пластини буде давати різні відносно суцільної пластини частоти, форми коливань, а також і розподіл напруг при згині.

З урахуванням малих переміщень, диференціальне рівняння вільних коливань пластини у безрозмірному вигляді запишеться так

, (1)

де D – циліндрична жорсткість пластинки,

r і h відповідно щільність і товщина пластини, x, h – безрозмірні змінні,

.

Застосовуючи до рівняння (1) процедуру розділення змінних , отримаємо:

, (2)

, (3)

, (4)

де λ – власне значення задачі, – власна частота коливань пластини.

Задача (2), (3) знаходження частот власних коливань є задачею на власні значення.

Для розрахунку власних коливань пластин з тріщинами пропонується застосувати метод збурення виду крайових умов [1]. Для чого пластину умовно розбиваємо на дві частини вздовж лінії тріщини і розглядаємо дві взаємопов’язані крайові задачі для кожної із них окремо. Тоді кожна частини пластини буде мати шарнірне обпирання по трьом краям, а на четвертому – мішані крайові умови пружного закріплення і вільного краю на лінії тріщини. В такому випадку крайові умови матимуть вигляд:

(5)

(6)

(7)

(8)

де - функція Хевісайда.

Розв’язок рівняння (3), що задовольняє початковим умовам запишеться так .

Розв’язок крайової задачі (2), (5)-( 8) подамо у вигляді асимптотичних рядів:

(9)

(10)

Підставляючи розвинення (9), (10) в рівняння (2) та виконуючи процедуру асимптотичного розщеплення отримаємо рекурентну послідовність граничних крайових задач. Розв’язки яких з урахуванням умови сумісності деформацій для обох частин пластини запишуться так:

(11)

. (12)

.

. (13)

. (14)

Вирази для констант С₁ – С₄ визначаються крайовими умовами.

Підставляючи отримані значення для , у асимптотичні ряди (9), (10) ми отримаємо шукані розв’язки. Так власне значення:

. (15)

На основі запропонованого методу проведено дослідження власних коливань і динамічної концентрації напруг згину шарнірно обпертої пластини, яка має вузьку тріщину паралельну одному із країв пластини. Проведено також дослідження симетричних і несиметричних відносно подовжньої осі форм коливань.

Побудовані залежності частот власних коливань від довжини тріщини для різних значень геометричних параметрів та жорсткості пластини. Розв’язок поставленої задачі побудовано на основі методу збурення виду крайових умов, а також методу Крилова-Боголюбова. Проведений порівняльний аналіз отриманих результатів показує задовільну точність запропонованого підходу.

1. Исследование собственных колебаний пластины со смешанными условиями закрепления контура /А.Н.Пасечник, В.А.Пасечник, Н.Н.Новотна. //Вісник Дніпропетр. ун-ту. Механіка, 2004. №6/2. С.185-192.

Довідка про авторa

Прізвище Пасічник

Ім’я Володимир

По батькові Анатолійович

Науковий ступінь кандидат фізико-математичних наук

Організація Дніпропетровський національний університет

Адреса м. Дніпропетровськ, пр. Кірова 127/48

Контактний телефон 42-56-06

e-mail: vmasterua@ua.fm