УДК 539.3

Амиртаев К.Б., Ибадуллаева А.Ш.

Международный Казахско-Турецкий университет им.Х.А Ясави,

г. Туркестан, Республика Казахстан

Численное исследование удлинения частично-теплоизолированного стержня ограниченной длины при наличии тепла и растягивающей силы

Дан стержень ограниченной длины . Площадь поперечного сечения постоянна по длине. Верхний конец стержня жестко защемлен, а на нижнем конце приложена осевая растягивающая сила . В верхнем конце стержня задана температура . Через участки боковой поверхности и площади поперечного сечения нижнего конца стержня, происходит теплообмен с окружающими их средами. Боковая поверхность участков стержня теплоизолирована (рисунок 1).

Рисунок 1 – Расчетная схема задачи

Требуется определить величину удлинения стержня от воздействия осевой растягивающей силы , и температуры окружающей среды . Для этого рассматриваемый стержень длиной будем дискретизировать квадратичными конечными элементами с тремя узлами.

Теплоизолированную по боковой поверхности участки стержня дискретизируем на равные элементы. Пусть длина каждого элемента будет . А участки, где происходит теплообмен с окружающей средой, дискретизируем квадратичными элементами с длиной .

Тогда для конечных элементов в теплоизолированных по боковой поверхности участках вид функционала, выражающий сохранение и изменение полной тепловой энергий будет следующим [1]

, (1)

Для теплоизолированного по боковой поверхности последнего конечного элемента вид функционала будет следующим

(2)

По боковой поверхности участка стержня происходит теплообмен с окружающей средой. Этому участку конечных элементов выражение функционала имеет следующий вид

, (3)

А также по боковой поверхности участка стержня происходит теплообмен с окружающей средой. Для соответствующих этому участку конечных элементов выражение соответствующего функционала имеет следующий вид

, (4)

Тогда для стержня в целом выражение соответствующего функционала будет следующим

. (5)

Из-за того, что задана температура в верхней точке стержня, минимизируя функционал (5) по значениям температуры в узловых точках , построим систему алгебраических линейных уравнений

, . (6)

Решая эту систему, находим значения температуры в узловых точках элементов. Значения температуры в 1601 узловых точках стержня приведены в таблице-1. А поле распределения температуры по длине стержня приведено на рисунке-2. В этом рисунке по оси абциссы расположены номера узловых точек стержня, а по оси ординаты расположены значения температуры.

От этого рисунка и таблицы-1 видно, что в этом варианте поле распределения температуры по длине стержня выражается через равномерной непрерывной кривой.

Здесь удлинение стержня от поля распреления температуры по длине стержня соответственно [2] будет равно . Тогда засчет приложенной растягивающей силы стержень удлиняется на . Тогда удлинение стержня в целом будет . Здесь удлинение стержня от поля распределения температуры будет больше на , чем по сравнению с удлинением стержня засчет приложенной растягивающей силы .

Таблица 1 - Закон распределения поля температур в фиксированных точках стержня при .

T1= 60,0000000 T50= 54,8458907 T100= 49,5865956 T150= 44,3273004 T200= 39,0680053 T250= 33,8087101 T300= 28,5494150

T350= 23,9191529 T400= 21,7101294 T450= 20,7468463 T500= 20,3276018 T550= 20,1469982 T600= 20,0734752 T650= 20,0528751

T700= 20,0457544 T750= 20,0386337 T800= 20,0315131 T850= 20,0243924 T900= 20,0172718 T950= 20,0101511 T1000= 20,0044952

T1050= 20,0019617 T1100= 20,0008571 T1150= 20,0003769 T1200= 20,0001714 T1250= 20,0000906 T1300= 20,0000721 T1350= 20,0000640

T1400= 20,0000559 T1450= 20,0000478 T1500= 20,0000397 T1550= 20,0000316 T1600= 20,0000235 T1601= 20,0000233

Длина стержня

Рисунок-2 – Закон распределения поля температуры по длине стержня при

.

ЛИТЕРАТУРА

1. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. – М.: Мир, 1979. – 392с.

2. Писаренко Г.С. и др. Сопротивление материалов. – Киев: Высшая школа, – 1973. – 672с.