УДК 621.396 : 681.2

Формализация операции сложения распределений сигналов

в NF-пространстве идентификационных чисел

В. Ю. Кобенко

Омский государственный технический университет

Исследована возможность формального описания операции сложения двух распределений случайных сигналов. Описана технология выполнения операции сложения в NF-пространстве идентификационных чисел.

Ключевые слова: диагностика, идентификация, идентификационные измерения, интеллектуальные системы, классификация, случайный сигнал, порядковая шкала.

Formalization of addition operation of signals distributions

in identification numbers NF-space

V. J. Kobenko

Omsk State Technical University

Possibility of the formal description of addition operation of two random signals distributions is investigated. The performance technology of addition operation in identification numbers NF-space is described.

Keywords: diagnostic, identification, identification measurements, intellectual systems, classification, random signal, order scale.

Введение

При анализе сигналов в статистических измерительных системах часто возникает проблема, связанная с формальным описанием взаимодействия сигналов, например, в результате их суммирования. Если математическая модель сигналов известна [1], то такая проблема решаема, но чаще всего, модель взаимодействующих сигналов не известна по причине их случайного характера [2]. В таком случае возникает вопрос – как получить подобную модель? Как, не проводя экспериментов аналитическим путем, предсказать результат взаимодействия, например, случайных стационарных сигналов с ограниченными законами распределения, имеющими минимальное количество известных параметров?

Постановка задачи

Пусть даны реализации двух сигналов X(t) и Y(t) в виде распределения мгновенных значений (рис. 1) одинакового объема N. Известны энергетические характеристики этих сигналов в виде значений их размахов R_x и R_y. Примем за отношение размахов параметр OR=R_x/R_y. Известны значения идентификационных параметров сигналов NF_x и NF_y, найденных в соответствии с алгоритмом, описанным в [3].

Задача состоит в том, чтобы, не проводя ни каких экспериментов над исходными реализациями X(t) и Y(t), идентифицировать суммарный сигнал по шкале NF, т.е. найти отображение аддитивной суммы Z(t) = X(t) + Y(t) в пространстве NF аналитически по формуле:

NF_sum = f(NF_x, NF_y, OR). (1)

Определение математической модели и ее коэффициентов дает возможность формального описания операции суммирования двух распределений случайных сигналов в пространстве идентификационного параметра NF.

Методика проведения исследований

Методика проведения исследований заключается в следующем.

1) Для большей достоверности и статистической устойчивости результатов исследований реализации суммируемых сигналов X(t) и Y(t) будут получены с помощью генератора случайных стационарных сигналов с заданным законом распределения [4, 5].

2) Определяются значения R_x и R_y.

3) Задается значение отношения размахов OR и реализация сигнала Y(t) трансформируется так, чтобы получить R_y = OR • R_x.

4) Находятся значения идентификационных параметров NF_x и NF_y.

5) Формируется реализация суммарного сигнала Z(t) = X(t) + Y(t). На рис.1 показан алгоритм нахождения мгновенных значений z_i = x_i + y_i, 1≤i≤N.

6) Находится значения идентификационного параметра NF_sum суммарного сигнала Z(t).

7) После многократного повторения п.п.1 – 6 при различных значениях OR для выбранной пары сигналов получается зависимость NF_sum = f(OR), для описания которой подбирается математическая модель.

8) Определяются коэффициенты математической модели следующим образом:

а) закон распределения одного из сигналов фиксируется, например Y(t), а значит, фиксируется NF_y;

б) находятся суммы Y(t) с другими X(t), законы распределения которых, меняются;

в) выполняются п.п.1 – 7 для выбранной математической модели и находятся ее коэффициенты для каждой суммы Z(t) при фиксированном параметре NF_y:

NF_sum (NF_y)= f(OR, A, B, C, D, E, F), (2)

где A, B, C, D, E, F – коэффициенты модели, зависящие от NF_x;

г) для каждого коэффициента A, B, C, D, E, F находится математическая модель, как функция от NF_x;

д) для каждого коэффициента моделей A=f(NF_x), B=f(NF_x), C=f(NF_x), D=f(NF_x), E=f(NF_x), F=f(NF_x) находится своя математическая модель, как функция от NF_y.

9) Таким образом, общая формула для вычисления NF_sum будет иметь вид:

NF_sum = f(OR, A(NF_x,NF_y), B(NF_x,NF_y), C(NF_x,NF_y),

D(NF_x,NF_y), E(NF_x,NF_y), F(NF_x,NF_y)). (3)

Технология проведения исследований

Для проведения исследований операции сложения был разработан программный продукт [6].

В качестве тестовых сигналов были взяты случайные стационарные сигналы с ограниченными законами распределения двумодальный (2МОД), арксинусный (АРКС), равномерный (РАВН), треугольный (СИМП), трапецеидальный с NF=33 (ТР33), трапецеидальный с NF=43 (ТР43), имеющие хорошую повторяемость параметра NF (согласно [3]) и нормальным законом распределения (НОРМ). Объем каждой реализации N = 10000, количество усреднений результатов суммирования – 2000, диапазон изменения отношения размахов OR от 0,001 до 1000.

Чтобы определить математическую модель, описывающую зависимость NF_sum = f(OR), просуммируем реализации случайных сигналов в различном сочетании и представим результат на одном графике. Причем, для большей наглядности ось OR прологарифмируем. На рис. 2, 3 показаны характерные экспериментальные зависимости NF_sum = f(lg(OR)), полученные в результате суммирования с распределениями 2МОД и СИМП других законов распределения. На рис. 4 показаны характерные экспериментальные зависимости NF_sum = f(lg(OR)) при сложении двух реализаций случайных сигналов с одинаковыми законами распределения.

С помощью программы TableCurve Windows фирмы Jandel Scientific в первом приближении была найдена математическая модель, хорошо описывающая особенности зависимости NF_sum = f(lg(OR)), и имеющая достаточно понятные, с геометрических соображений, коэффициенты:

(4)

где A, B, C, D, E, F – коэффициенты модели.

На рис. 5 представлен «выпуклый» (B, D, F > 0) и «вогнутый» (B, D, F < 0) график модели (4) и влияние изменения коэффициентов модели на форму графика. Знаки «-» и «+» означают уменьшение или увеличение значения соответствующего коэффициента модели. Стрелочки показывают изменение формы графика при изменении коэффициентов.

Очевидно, что зависимости, представленные на рис.2 – 4, в большей степени напоминают «выпуклый» график модели (4), поэтому и дальнейший поиск коэффициентов модели будет осуществляться именно для такого графика.

В табл.1 представлены значения коэффициентов модели (4) для сумм различных распределений. Для каждого коэффициента A, B, C, D, E, F находится математическая модель, описывающая его изменение в пределах каждой суммы с одинаковым распределением одного из слагаемых (NF_y) в зависимости от NF_x, но для одного и того же коэффициента эта должна быть единая модель. В первом приближении были выбраны наиболее простые модели коэффициентов A, B, C, D, E, F:

(5)

Для каждого коэффициента уравнения из (5) находится функция от NF_y: a_B = f(NF_y), b_B = f(NF_y), a_c = f(NF_y), b_c = f(NF_y), c_c = f(NF_y), a_D = f(NF_y), b_D = f(NF_y), a_F = f(NF_y), b_F= f(NF_y) (табл. 2).

Таблица 1

Распределения		Коэффициенты
NFy	NFx	A	B	C	D	E	F
2МОД +	2МОД	4,04	3,87	0,0014	0,334	4,04	0,335
	АРКС	4,05	7,87	0,293	0,343	8,06	0,329
	РАВН	4,06	11,9	0,451	0,344	12,1	0,333
	СИМП	4,06	23,1	0,695	0,345	23,4	0,332
	НОРМ	4,05	49,1	0,95	0,345	53,3	0,333
АРКС +	2МОД	8,06	3,86	-0,293	0,327	4,04	0,342
	АРКС	8,08	7,75	0,0015	0,335	8,06	0,334
	РАВН	8,09	11,6	0,173	0,340	12,1	0,329
	СИМП	8,09	21,8	0,445	0,345	23,4	0,308
	НОРМ	8,05	45,2	0,783	0,354	53,3	0,300
РАВН +	2МОД	12,0	3,89	-0,453	0,329	4,06	0,345
	АРКС	12,1	7,61	-0,173	0,327	8,09	0,341
	РАВН	12,1	11,1	0,001	0,329	12,1	0,329
	СИМП	12,1	20,28	0,295	0,342	23,4	0,299
	НОРМ	12,0	41,3	0,673	0,344	53,3	0,301
СИМП +	2МОД	23,4	3,82	-0,691	0,333	4,07	0,343
	АРКС	23,4	6,59	-0,444	0,301	8,09	0,344
	РАВН	23,4	8,97	-0,282	0,297	12,1	0,337
	СИМП	23,4	15,5	-0,009	0,296	23,4	0,304
	НОРМ	23,3	30,6	0,419	0,329	52,8	0,318
ТР33 +	2МОД	33,2	3,57	-0,802	0,374	4,07	0,340
	АРКС	33,2	6,27	-0,578	0,316	8,09	0,346
	РАВН	33,3	8,58	-0,427	0,307	12,1	0,339
	СИМП	33,4	14,5	-0,155	0,309	23,4	0,307
	ТР33	33,2	19,6	0,011	0,288	33,2	0,286
	ТР43	33,2	25,0	0,094	0,276	43,1	0,301
	НОРМ	33,2	27,7	0,213	0,335	53,1	0,169
ТР43 +	2МОД	43,2	3,11	-0,886	0,309	4,06	0,339
	АРКС	43,2	5,29	-0,666	0,305	8,12	0,341
	РАВН	43,2	7,80	-0,547	0,302	12,0	0,345
	СИМП	43,2	12,7	-0,283	0,310	23,3	0,314
	ТР33	43,2	15,1	-0,143	0,253	33,2	0,299
	ТР43	43,2	18,51	0,022	0,290	43,2	0,264
	НОРМ	43,2	22,86	0,056	0,316	53,2	0,195
НОРМ +	2МОД	53,3	0,330	-0,983	0,330	4,06	0,347
	АРКС	53,3	0,332	-0,782	0,332	8,06	0,350
	РАВН	53,3	0,335	-0,674	0,335	12,0	0,355
	СИМП	53,3	0,341	-0,486	0,341	23,3	0,360
	НОРМ	53,3	0,340	0	0,340	53,3	0,357

Таблица 2

Распределение (NFy)		2МОД (4)	АРКС (8)	РАВН (12)	СИМП (23,4)	ТР33 (33,3)	ТР43 (43,2)	НОРМ (53,3)	f(NFy)
B	aB	0,73	1,12	1,67	2,25	2,34	2,50	3,11
	bB	0,92	0,85	0,75	0,54	0,50	0,38	0,21	bB = 1,018-0,019NFy
C	ac	-2,96	-3,16	-6,33	-2,29	-2,79	-2,44	-1,36	ac = -3,25+0,0272NFy
	bc	2,58	2,44	5,34	1,20	1,59	1,20	0,187	bc = 2,71-0,043NFy
	cc	0,106	0,122	0,068	0,204	0,159	0,186	0,5	cc = 0,09+0,0024NFy
D	aD	0,345	0,330	0,327	0,324	0,350	0,310	0,336	aD = 0,337
	bD	-0,00008	0,0005	0,0004	-0,0015	-0,0018	-0,0004	-0,0002	bD = 0,00014-0,00006NFy
F	aF	0,333	0,350	0,357	0,358	0,350	0,360	0,356	aF = 0,355
	bF	-0,00006	-0,0017	-0,0025	-0,0022	-0,0015	-0,0020	-0,0009	bF = -0,0012-0,00002NFy

Таким образом, вычислив значения a_B, b_B, a_c, b_c, c_c, a_D, b_D, a_F , b_F по формулам из табл. 2, найти коэффициенты A, B, C, D, E, F по формуле (5), полученные значения подставить в формулу (4) и вычислить NF_sum.

Метрологические характеристики операции

сложения распределений

Чтобы проверить правильность выполнения операции сложения двух реализаций сигналов X(t) и Y(t) в пространстве параметра NF, найдем погрешность вычисления NF_sum, при этом за истинное значение примем значение параметра NF_o, найденное для суммарной реализации Z(t) (см. рис.1). Определим систематическую δ_с и случайную δ_сл относительную погрешность и ее среднеквадратическое отклонение (СКО) σ [7]. Объем каждой реализации N = 10000, количество усреднений результатов суммирования – 1000, диапазон изменения отношения размахов OR от 0,001 до 1000. В табл. 3 представлены данные о распределении относительной погрешности выполнения операции сложения для 2МОД, АРКС, РАВН, СИМП, ТР43 и НОРМ распределений с доверительной вероятностью 0,95.

Таблица 3

		2МОД	АРКС	РАВН	СИМП	ТР43	НОРМ
2МОД	δс, %	3,34	1,88	1,68	0,73	-2,28	-1,56
	δсл, %	0,09	0,08	0,09	0,08	0,07	0,16
	2σ, %	5,9	5,2	6,2	5,5	4,5	10,5
АРКС	δс, %	1,88	-0,01	-1,03	-1,09	-6,35	0,21
	δсл, %	0,08	0,04	0,04	0,04	0,12	0,19
	2σ, %	5,1	2,71	3,12	3,11	7,7	12,1
РАВН	δс, %	1,68	-1,03	-1,67	-1,72	-7,27	-0,70
	δсл, %	0,10	0,05	0,04	0,06	0,17	0,18
	2σ, %	6,2	3,12	2,72	4,0	10,8	11,6
СИМП	δс, %	0,73	-1,09	-1,72	-1,16	-9,79	-5,31
	δсл, %	0,08	0,05	0,06	0,11	0,24	0,25
	2σ, %	5,5	3,04	3,98	6,8	15,4	16,2
ТР43	δс, %	-2,28	-6,35	-7,27	-9,79	0,51	1,61
	δсл, %	0,07	0,12	0,17	0,24	0,30	0,24
	2σ, %	4,5	7,7	10,8	15,4	19,3	15,3
НОРМ	δс, %	-1,56	0,21	-0,70	-5,31	1,61	-0,75
	δсл, %	0,16	0,19	0,18	0,25	0,24	0,49
	2σ, %	10,5	12,1	11,6	16,2	15,3	31,2

Выводы

Проведенные исследования позволяют сделать следующие выводы.

1) Описана операция сложения распределений, выполняющая сложение двух случайных величин в пространстве идентификационного параметра NF, формально данную операцию можно записать так:

,

где символом (+) обозначена сама операция.

2) Систематическая погрешность выполнения операции сложения не превосходит 10% (для ограниченных распределений 2МОД, АРКС, РАВН, СИМП – менее 4%), случайная погрешность не превосходит 0,5% при количестве усреднений 1000 (табл. 3).

Библиографический список

1. Хан, Г. Статистические модели в инженерных задачах / Г. Хан, С. Шапиро. – М. : Мир, 1969. – 395 с.

2. Петров, В. В. Суммы независимых случайных величин / В. В. Петров. – М. : Наука, 1972. – 416 с.

3. Кликушин, Ю. Н. Фрактальная шкала для измерения распределений вероятности. [Электронный ресурс]. – М. : Журнал Радиоэлектроники, Изд-во ИРЭ РАН, № 3, 2000. – Режим доступа: http://jre.cplire.ru.

4. Генератор случайных сигналов с заданным законом распределения / Ю. Н. Кликушин, В. Ю. Кобенко. – М. : ИНИМ РАО ОФЭРНиО, св-во №17515 от 25.10.2011, ВНТИЦ №50201151369.

5. Генератор случайных сигналов с регулируемым трапецеидальным законом распределения / Ю. Н. Кликушин, В. Ю. Кобенко. – М. : ИНИМ РАО ОФЭРНиО, св-во №17514 от 25.10.2011, ВНТИЦ №50201151370.

6. Система статистического анализа идентификационной суммы сигналов в пространстве NF / Ю. Н. Кликушин, В. Ю. Кобенко. – М. : ИНИМ РАО ОФЭРНиО, св-во №17722 от 22.12.2011, ВНТИЦ №50201151578.

7. Новицкий, П. В., Зограф И. А. Оценка погрешностей результатов измерения / П. В. Новицкий, И. А. Зограф. – Л. : Энергоатомиздат, 1985. – 248с.