Мурзабекова М.А.

Магистр МКТУ им. А.Ясави, Казахстан

 

  КРАЕВАЯ  ЗАДАЧА ДЛЯ  СИСТЕМ  ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПАРАМЕТРОМ

 

 

На отрезке   рассматривается  двухточечная краевая задача для системы интегро-дифференциальных уравнений с параметром

                            (1)

                 ,                                                   (2)

где   - матрица ,  и   -мерная вектор-функция   непрерывны на  , матрица   непрерывна соответственно  на   .

Требуется найти пару ,  которая удовлетворяет системе интегро-дифференциальных уравнений с параметром (1) и граничным условиям (2).

В настоящей работе краевая задача для интегро-дифференциальных уравнений с параметром (1), (2) исследуется  методом параметризации [1,2].

Берем шаг , который   раз  укладывается на отрезке   и по нему произведем разбиение .

Сужение функции   на  ый интервал  обозначим через , т.е. - система вектор - функций, определенная  и совпадающая с  на 

. Тогда исходная двухточечная краевая задача для систем интегро-дифференциальных уравнений с параметром сведется к эквивалентной многоточечной краевой задаче  

               (3)

                                                              (4)

                  .                                     (5)

Здесь (5) - условия склеивания решения во внутренних точках разбиения .

Введем обозначения = ,  и на каждом  интервале  произведем замену  , . Тогда задача (3) - (5) сведется к эквивалентной многоточечной краевой задаче 

                (6)

                                                         (7)                                           

                                                              (8)

                  .                                       (9)

           Появление начальных условий   позволяют  при фиксированных значениях  определить функции   из систем интегральных уравнений 

                                        (10)

Из (10) определив   , подставляя соответствующие им выражения в условия (8), (9) и умножая обе части (8) на , получим систему линейных уравнений относительно неизвестных параметров ,

                                                     (11)

                     

,         (12)

      

                        (13)

 

Матрицу размерности , соответствующую левой части систем линейных уравнений (11), (12) и (13) обозначим через . Тогда система линейных уравнений (11), (12) и (13) записывается в виде

                            ,                               (14)

где                        

,

 

          Таким образом, для нахождения неизвестных пар , решения задачи (6) - (9), имеем замкнутую систему уравнений (10), (14). Решение многоточечной краевой  задачи (6) - (9) найдем как предел последовательности пар , 0,1,2, …,  определяемой  по следующему  алгоритму:

           Шаг 0.  а) Предполагая, что матрица  обратима, из уравнения  определим начальное приближение по параметру : 

б) Подставляя найденные   в правую часть системы интегро-дифференциальных уравнений (6) и решая специальную задачу  Коши с условиями  (7)    находим    

            Шаг 1. а)  Подставляя найденные ,   ,   в правую часть (14)  из уравнения   определим  .

б) Подставляя найденные   в правую часть системы интегро-дифференциальных уравнений (6) и решая специальную задачу  Коши с условиями  (7)    находим    И т.д.

Продолжая процесс, на  -шаге алгоритма  находим систему пар   ,   0,1,2, ….

 

 

 

Литературы

 

1.                 Джумабаев Д.С. Признаки   однозначной разрешимости линейной крае­вой задачи для систем дифференциальных уравнений  //Журнал вычисл. матем.  и матем. физ. 1989. Т. 29.  № 1. С. 50-66.

 

2.                 Джумабаев Д.С. Критерий  однозначной разрешимости линейной крае­вой задачи для систем интегро-дифференциальных уравнений  //Математический журнал 2008. Т. 8.  № 2. С. 44-48.